Exercice n°5
Partie
Question
Soit dans \(\mathbb N\) trois nombres premiers \(p , q , r\) distincts.
\(\alpha , \beta , \gamma\) étant des entiers supérieurs ou égaux à \(1,\) combien le nombre \(a = p ^\alpha q ^\beta r ^\gamma\) a-t-il de diviseurs ?
Solution détaillée
Un diviseur \(b\) de \(a\) a pour décomposition en facteurs premiers :
\(b = p ^\alpha{'} q ^\beta{'} r ^\gamma{'}\)
\(p , q , r\) sont les seuls diviseurs premiers de \(b\) possibles.
De plus :
\(0 \leq \alpha' \leq \alpha\)
\(0 \leq \beta' \leq \beta\)
\(0 \leq \gamma' \leq \gamma\)
Il y a \((\alpha + 1)\) valeurs possibles pour \(\alpha' , (\beta + 1)\) pour \(\beta' , (\gamma + 1)\) pour \(\gamma' .\)
Il y a donc \((\alpha + 1) (\beta + 1) (\gamma + 1)\) possibilités pour \(b .\)
\(a\) admet \((\alpha + 1) (\beta + 1) (\gamma + 1)\) diviseurs.