Exercice n°6
Partie
Question
Pour quelles valeurs de l'entier \(n \geq 1 ,\) l'entier \(n ^n\) est-il divisible par \(13 ?\)
Rappel de cours
Voir la page Définition et propriétés
Solution détaillée
Pour que \(n ^n\) soit divisible par \(13 ,\) il faut et il suffit que \(n\) soit divisible par \(13 .\)
En effet si la décomposition en facteurs premiers de \(n\) est :
\(n= p_i ^{\alpha_1} ,..., p_i ^{\alpha_i}\)
celle de \(n ^n\) est :
\(n^n= p_i ^{n \alpha_1} ,..., p_i ^{n \alpha_i}\)
Si \(n ^n\) est divisible par le nombre \(13\) l'un des \(p_i\) est \(13 .\)
Puisque \(13\) est un nombre premier, c'est l'un des \(p_i .\)