Nombres premiers

Les diviseurs de \(p ^\alpha\) sont \(1, p, p ^2, ..., p ^\alpha.\)

Leur somme vaut \(1 + p + p ^2 + ... + p ^\alpha = \frac{p^{\alpha+1}-1}{p-1}\)

Les diviseurs de \(p ^\alpha q ^\beta\) sont de la forme \(p ^{\alpha'} q ^{\beta'} .\)

On obtient leur somme en effectuant

\((1+ p + p ^2 + ... + p ^\alpha) (1 + q + q ^2 + ... + q ^\alpha )\)

Soit

\(\frac{p^{\alpha+1}-1}{p-1}\times \frac{q^{\beta+1}-1}{q-1}\)

Cette propriété se généralise à plus de deux facteurs.

Exemple pour trois : \(p ^\alpha, q ^\beta, r ^\gamma\)

Somme :

\(\frac{p^{\alpha+1}-1}{p-1}\times \frac{q^{\beta+1}-1}{q-1} \times \frac{r^{\gamma+1}-1}{r-1}\)