Exercice n°4 [Nombres premiers]

Exercice n°4

Soit $p_1 p_2 p_3 ... p_n ...$ la suite des nombres premiers ordonnés croissants.

Soit $q$ le plus petit nombre premier qui divise $p_1 p_2 p_3 ... p_n + 1 .$ Montrer que :

$q \geq p_{n + 1}$

$q$ est un nombre premier distinct de chacun des nombres $p_1 , ... p_n .$ Il est donc supérieur ou égal à $p_{n + 1} .$

Montrer que pour tout $n$ la propriété $P (n)$ est vraie.

$P (n) : p_n \leq 2^ {2^n}$

Démontrons la propriété $P (n)$ par récurrence.

Initialisation $p_1 = 2 ; 2 < 2 ^2$

Supposons $P$ vraie pour toutes les valeurs de $1$ à $n .$

$p_{n + 1} \leq q < p_1 ... p_n + 1$

$p_1 ... p_n \leq 2 ^2 \times 2 ^{2^2} \times .... \times 2 ^{2^n} = 2 ^{2 + 2^2 + ... +2^n}= 2^{2(2^n-1)} = 2^{2^n+1}{-2} \leq 2^{2^n+1}$

Donc $p_1 ... p_n <2 ^{2^n+1} \quad q< 2 ^{2^n+1} \quad p_{n+1} \leq 2 ^{2^n+1}$

La propriété $P (n)$ est donc vraie pour tout $n .$

Ceci permet d'obtenir un majorant pour le k-ième nombre premier.