Calcul de l'inverse d'une matrice
Partie
Question
Soit la matrice \(\displaystyle\left(\begin{array}{c c c}-1&-1&1\\-2&0&1\\0&-3&1\end{array}\right)\).
Montrer que A est inversible et déterminer sa matrice inverse.
Aide méthodologique
Soient \(X=\left(\begin{array}{cccccc}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)\) et \(X=\left(\begin{array}{cccccc}y_1\\y_2\\y_3\end{array}\right)\) deux éléments de \(M_{3,1}(R)\).
L'égalité \(AX=Y\) peut s'écrire sous forme d'un système de 3 équations à 3 inconnues \(x_1,x_2,x_3\). Si ce système admet une solution unique, celle-ci peut se mettre sous la forme \(X=A'Y\).
On a alors, pour toutes matrices \(X\) et \(Y\) de \(M_{3,1}(R)\), l'équivalence \(AX=Y\Leftrightarrow X=A'Y\).
On a donc pour toute matrice \(Y\) de \(M_{3,1}(R)\) : \(Y=AA'Y\). On en déduit \(AA'=I_3\).
De même pour toute matrice \(X\) de \(M_{3,1}(R)\) : \(X=A'AX\) et donc \(A'A=I_3\).
Si la notion de déterminant est connue, on peut d'abord calculer le déterminant de \(A\) et, s'il est différent de 0 conclure que \(A\) est inversible. De l'équivalence \(AX=Y\Leftrightarrow X=A'Y\) on peut alors déduire directement que \(A^{-1}=A'\).
Il existe d'autres méthodes pour calculer l'inverse d'une matrice mais celle-ci est l'une des plus simples.
Aide à la lecture
\(A\) est une matrice carrée d'ordre 3 donc elle appartient à \(M_3(R)\).
Elle est inversible s'il existe une matrice \(A'\) élément de \(M_3(R)\) telle que :
\(AA'=A'A=I_3\) où \(\displaystyle I_3=\left(\begin{array}{c c c}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right)\)
La matrice \(A'\), si elle existe, est unique et est appelée la matrice inverse de \(A\), notée \(A^{-1}\).
Solution détaillée
Solution dans le cas où la notion de déterminant n'est pas connue
Soient \(X=\left(\begin{array}{cccccc}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)\) et \(Y=\left(\begin{array}{cccccc}y_1\\y_2\\y_3\end{array}\right)\) deux éléments de \(M_{3,1}(R)\).
\(AX=Y\Leftrightarrow\left(\begin{array}{c c c}-1&-1&1\\-2&0&1\\0&-3&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccc}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccc}y_1\\y_2\\y_3\end{array}\right)\)
Cette égalité matricielle est équivalente au système \((S)\) suivant :
\(\left\{\begin{array}{cccccc}-x_1&-x_2&+&x_3=y_1\\-2x_1&&+&x_3=y_2\\&-3x_2&+&x_3=y_3\end{array}\right.\)
On résout \((S)\) par la méthode du pivot de Gauss.
\((S)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{rrll}-x_1-x_2&+&x_3=y_1&\\-2x_2&-&x_3=y_2-2y_1&L_2\leftarrow L_2-2L_1\\-3x_2&+&x_3=y_3&\end{array}\right.\)
\((S)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{rrll}-x_1+x_3-x_2&=&y_1&\\-x_3+2x_2&=&y_2-2y_1&\\-x_2&=&y_3+y_2-2y_1&L_3\leftarrow L_3+L_2\end{array}\right.\)
On obtient \(x_2=2y_1-y_2-y_3\), puis \(x_3=6y_1-3y_2-2y_3\) et \(x_1=3y_1-2y_2-y_3\) solution que l'on peut écrire sous la forme :
\(\left\{\begin{array}{llll}x_1&=&3y_1-2y_2-y_3\\x_2&=&2y_1-y_2-y_3\\x_3&=&6y_1-3y_2-2y_3\end{array}\right.\)
Ces égalités peuvent s'écrire matriciellement :
\(\left(\begin{array}{cccccc}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c c c}3&-2&-1\\2&-1&-1\\6&-3&-2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccc}y_1\\y_2\\y_3\end{array}\right)\)
Soit \(A'=\left(\begin{array}{c c c}3&-2&-1\\2&-1&-1\\6&-3&-2\end{array}\right)\)
On a donc pour toutes matrices \(X\) et \(Y\) de \(M_{3,1}(R)\) l'équivalence \(AX=Y\Leftrightarrow X=A'Y\).
On a donc pour toute matrice \(Y\) de \(M_{3,1}(R)\) : \(Y=AA'Y\), on en déduit \(AA'=I_3\).
De même pour toute matrice \(X\) de \(M_{3,1}(R)\) : \(X=A'AX\) et donc \(A'A=I_3\).
La matrice \(A\) est donc inversible et \(A^{-1}=A'=\left(\begin{array}{c c c}3&-2&-1\\2&-1&-1\\6&-3&-2\end{array}\right)\).
Méthode pratique de détermination de l'inverse d'une matrice
La méthode pratique de détermination de l'inverse d'une matrice va s'appuyer sur la propriété suivante :
Lemme :
Soient \(M\) et \(M'\) deux matrices de \(M_{n,p}(K)\). Si \(MY=M'Y\) pour toute matrice \(Y\) appartenant à \(M_{p,1}(K)\), alors \(M=M'\).
Preuve :
Il suffit de remarquer que si \(Y_i=\left(\begin{array}{cc}0\\ \equiv\\1\\ \equiv\\0\end{array}\right)\) où le "1" est à la i-ième ligne, \(MY_i\) est la matrice colonne formée de la i-ème colonne de \(M\). On obtient donc le résultat en appliquant l'hypothèse aux matrices \(Y_i\), pour tout \(i\) compris entre 1 et \(p\).
On en déduit un procédé pratique pour déterminer explicitement l'inverse d'une matrice inversible.
En effet on a une méthode algorithmique pour résoudre les systèmes linéaires, la méthode de Gauss.
On résout donc, par ce procédé, un système linéaire \(AX=B\) avec \(Y\) quelconque appartenant à \(M_{n,1}(K)\).
On obtient la solution que l'on peut écrire sous la forme \(X=A'B\).
Alors, comme on sait que le système a une unique solution \(X=A^{-1}B\), le lemme permet d'écrire \(A'=A^{-1}\).
Remarque :
Si l'on ne sait pas à l'avance que la matrice \(A\) est inversible, mais si l'on a prouvé par le procédé précédent que \(AX=Y\Leftrightarrow X=A'Y\) pour toute matrice \(Y\) appartenant à \(M_{p,1}\), on peut en déduire en utilisant le lemme que \(AA'=I_n\).
Solution dans le cas où la notion de déterminant est connue
det \(A=\left|\begin{array}{ccc}-1&-1&1\\-2&0&1\\0&-3&1\end{array}\right|=-3+2(-1+3)=1\)(développement suivant la première colonne).
Le déterminant de \(A\) est non nul, donc \(A\) est inversible.
Recherche de \(A^{-1}\)
Soient \(X=\left(\begin{array}{cccccc}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)\) et \(Y=\left(\begin{array}{cccccc}y_1\\y_2\\y_3\end{array}\right)\) deux éléments de \(M_{3,1}(R)\).
\(AX=Y\Leftrightarrow\left(\begin{array}{ccc}-1&-1&1\\-2&0&1\\0&-3&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccc}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccc}y_1\\y_2\\y_3\end{array}\right)\)
Cette égalité matricielle est équivalente au système \((S)\) suivant :
\(\left\{\begin{array}{cccccc}-x_1&-x_2&+x_3=y_1\\-2x_1&&+x_3=y_2\\&-3x_2&+x_3=y_3\end{array}\right.\)
On résout \((S)\) par la méthode du pivot de Gauss.
\((S)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{llll}-x_1-x_2&+&x_3=y_1&\\-2x_2&-&x_3=y_2-2y_1&L_2\leftarrow L_2-2L_1\\-3x_2&+&x_3=y_3&\end{array}\right.\)
\((S)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{llll}-x_1+x_3-x_2&=&y_1&\\-x_3+2x_2&=&y_2-2y_1&\\-x_2&=&y_3+y_2-2y_1&L_3\leftarrow L_3+L_2\end{array}\right.\)
On obtient \(x_2=2y_1-y_2-y_3\), puis \(x_3=6y_1-3y_2-2y_3\) et \(x_1=3y_1-2y_2-y_3\) solution que l'on peut écrire sous la forme \(\left\{\begin{array}{llll}x_1&=&3y_1-2y_2-y_3\\x_2&=&2y_1-y_2-y_3\\x_3&=&6y_1-3y_2-2y_3\end{array}\right.\)
Ces égalités peuvent s'écrire matriciellement
\(\left(\begin{array}{cccccc}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c c c}3&-2&-1\\2&-1&-1\\6&-3&-2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccc}y_1\\y_2\\y_3\end{array}\right)\)
Soit \(A'=\left(\begin{array}{c c c}3&-2&-1\\2&-1&-1\\6&-3&-2\end{array}\right)\).
On a donc pour toutes matrices \(X\) et \(Y\) de \(M_{3,1}(R)\) l'équivalence \(AX=Y\Leftrightarrow X=A'Y\).
Or, comme \(A\) est inversible, \(AX=Y\Leftrightarrow X=A^{-1}Y\).
On a donc pour tout \(Y\) de \(M_{3,1}(R):A'Y=A^{-1}Y\).
On en déduit que \(A^{-1}=A'=\left(\begin{array}{c c c}3&-2&-1\\2&-1&-1\\6&-3&-2\end{array}\right)\).