Calcul de puissances de matrices à l'aide de matrices semblables
Partie
On considère les matrices \(P, A, B, C\) suivantes : \(P=\left(\begin{array}{c c c}-1&-1&1\\-2&0&1\\0&-3&1\end{array}\right),A=\left(\begin{array}{c c c}5&-6&0\\2&-5&1\\6&-12&2\end{array}\right),B=PAP^2,C=P^2AP\)
Question
Calculez \(P^2\) et \(P^3\). En déduire \(P^n\), pour tout entier \(n\) positif.
Aide simple
On trouve \(P^3=I_3\).
Servez-vous du fait que tout entier s'écrit comme la somme d'un multiple de 3 et d'un reste compris entre 0 et 2.
Une matrice \(R\) est semblable à une matrice \(S\) s'il existe une matrice inversible \(Q\) telle que \(R=QSQ^-1\). Dans ce cas \(R^n=QS^nQ^{-1}\).
Une matrice carrée \(M\) d'ordre \(n\) est inversible si et seulement si il existe une matrice carrée \(N\) d'ordre \(n\) telle que \(MN=NM=I_n\), où \(I_n\) est la matrice unité d'ordre \(n\). Dans ce cas \(M\) est l'inverse de \(N\), et \(N\) est l'inverse de \(M\).
Aide à la lecture
On veut calculer des puissances de matrices carrées d'ordre 3, plusieurs méthodes sont suggérées : calcul des premières puissances, théorie des matrices semblables.
Aide méthodologique
En général, lorsqu'on veut calculer les puissances d'une matrice, on peut :
soit calculer les premières puissances, et si ce calcul permet de "deviner" la forme de toutes les autres puissances, on démontre la formule adéquate (par récurrence ou autrement).
soit se servir d'une matrice (dont la forme permet un calcul plus simple) semblable à la matrice donnée.
Solution détaillée
Après calculs on trouve : \(P^2=\left(\begin{array}{c c c}3&-2&-1\\2&-1&-1\\6&-3&-2\end{array}\right),P^3=\left(\begin{array}{c c c}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right)\)
On remarque que \(P^3\) est la matrice unité d'ordre 3 : \(P^3=I_3\), donc on déduit en particulier les égalités \(P^4=P^3P=I_3P=P,P^5=P^3P^2=I_3P^2=P^2,P^6=(P^3)^2=I^2_3=I_3\).
Plus généralement, comme tout entier \(n\) positif peut s'écrire \(n=3k+r\), où \(k\) et \(r\) sont deux entiers positifs tels que \(0\le r\le2\), on obtient :
pour \(n=3k,P^n=P^{3k}=(P^3)^k=I^k_3=I_3\)
pour \(n=3k+1,P^n=P^{3k}P=(P^3)^k=I_3P=P\)
pour \(n=3k+2,P^n=P^{3k}P^2=(P^3)^k=I_3P^2=P^2\)
Donc \(P^{3k}=I_3,P^{3k+1}=P ,P^{3k+2}=P^2\) , pour tout entier \(k\) positif ou nul (rappel : \(P^0=I_3\)).
Question
Justifiez le fait que la matrice \(B\) est semblable à la matrice \(A\).
La matrice \(C\) est-elle semblable à la matrice \(A\) ?
La matrice \(C\) est-elle semblable à la matrice \(B\) ?
Aide simple
On trouve \(P^3=I_3\).
Une matrice \(R\) est semblable à une matrice \(S\) s'il existe une matrice inversible \(Q\) telle que \(R=QSQ^-1\). Dans ce cas \(R^n=QS^nQ^{-1}\).
Une matrice carrée \(M\) d'ordre \(n\) est inversible si et seulement si il existe une matrice carrée \(N\) d'ordre \(n\) telle que \(MN=NM=I_n\), où \(I_n\) est la matrice unité d'ordre \(n\). Dans ce cas \(M\) est l'inverse de \(N\), et \(N\) est l'inverse de \(M\).
Aide à la lecture
On veut calculer des puissances de matrices carrées d'ordre 3, plusieurs méthodes sont suggérées : calcul des premières puissances, théorie des matrices semblables.
Aide méthodologique
En général, lorsqu'on veut calculer les puissances d'une matrice, on peut :
soit calculer les premières puissances, et si ce calcul permet de "deviner" la forme de toutes les autres puissances, on démontre la formule adéquate (par récurrence ou autrement).
soit se servir d'une matrice (dont la forme permet un calcul plus simple) semblable à la matrice donnée.
Solution détaillée
Comme \(PP^2=P^2P=I_3\), la matrice \(P\) est inversible et \(P^{-1}=P^2\). Alors on a : \(B=PAP^{-1}\), ce qui est la définition de "\(B\) est semblable à \(A\)".
De même, comme \(PP^2=P^2P=I_3\), la matrice \(P^2\) est inversible et \((P^2)^1=P\), on a alors : \(C=P^2AP=P^2A(P^2)^{-1}\), donc \(C\) est semblable à \(A\).
D'après la question 1), et la propriété de symétrie de la relation binaire "être semblable à" dans l'ensemble des matrices carrées, comme \(B\) est semblable \(A\), on en déduit que \(A\) est semblable à \(B\).
Plus précisément, comme \(B=PAP^2\), on obtient \(A=P^{-1}B(P^2)^{-1}\), c'est-à-dire \(A=P^2BP=P^2B(P^2)^{-1}\).
D'après la question 2), et la propriété de transitivité de la relation binaire "être semblable à", comme \(C\) est semblable à \(A\) et \(A\) semblable à \(B\), on en déduit que \(C\) est semblable à \(B\).
Plus précisément, comme \(C=P^2AP\) et \(A=P^2BP\), on obtient \(C=P^4BP^2\), donc \(C=PBP^2=PBP^{-1}\).
Propriété : Propriétés de la relation de similitude sur Mn(K)
La relation binaire "être semblable à ...", définie sur \(M_n(K)\), est appelée relation de similitude. Elle possède les propriétés suivantes :
Si \(A\) est une matrice de \(M_n(K)\), \(A\) est semblable à elle même (on dit que la relation est réflexive).
Soient \(A\) et \(B\) deux matrices de \(M_n(K)\). Si \(A\) est semblable à \(B\), alors \(B\) est semblable à \(A\) (on dit que la relation est symétrique).
Soient \(A, B\) et \(C\) trois matrices de \(M_n(K)\). Si \(A\) est semblable à \(B\), et \(B\) est semblable à \(C\), alors \(A\) est semblable à \(C\) (on dit que la relation est transitive).
Question
Calculez \(B\). En déduire \(B^n\), pour tout entier \(n\) strictement positif.
Aide simple
On trouve \(P^3=I_3\).
Une matrice \(R\) est semblable à une matrice \(S\) s'il existe une matrice inversible \(Q\) telle que \(R=QSQ^-1\). Dans ce cas \(R^n=QS^nQ^{-1}\).
Une matrice carrée \(M\) d'ordre \(n\) est inversible si et seulement si il existe une matrice carrée \(N\) d'ordre \(n\) telle que \(MN=NM=I_n\), où \(I_n\) est la matrice unité d'ordre \(n\). Dans ce cas \(M\) est l'inverse de \(N\), et \(N\) est l'inverse de \(M\).
Aide à la lecture
On veut calculer des puissances de matrices carrées d'ordre 3, plusieurs méthodes sont suggérées : calcul des premières puissances, théorie des matrices semblables.
Aide méthodologique
En général, lorsqu'on veut calculer les puissances d'une matrice, on peut :
soit calculer les premières puissances, et si ce calcul permet de "deviner" la forme de toutes les autres puissances, on démontre la formule adéquate (par récurrence ou autrement).
soit se servir d'une matrice (dont la forme permet un calcul plus simple) semblable à la matrice donnée.
Solution détaillée
Le calcul de \(B\), en utilisant l'égalité \(B=PAP^2\), donne : \(B=\left(\begin{array}{c c c}1&0&0\\0&2&0\\0&0&-1\end{array}\right)\).
La matrice B est diagonale.
On en déduit pour tout entier \(n\) strictement positif : \(B^n=\left(\begin{array}{c c c}1&0&0\\0&2^n&0\\0&0&(-1)^n\end{array}\right)\)
Propriété : Puissance d'une matrice diagonale
Soit \(D=\left(\begin{array}{cccc}\alpha_1&0&...&0\\0&\alpha_2&...&0\\\equiv&&&\equiv\\0&...&0&\alpha_n\end{array}\right)\) une matrice diagonale d'ordre n.
Alors, pour tout entier positif \(p\), on a \(D^p=\left(\begin{array}{cccc}\alpha_1^p&0&...&0\\0&\alpha_2^p&...&0\\\equiv&&&\equiv\\0&...&0&\alpha_n^p\end{array}\right)\)
Question
Déduisez des questions précédentes le calcul explicite de \(A^n\), pour tout entier \(n\) strictement positif.
Aide simple
On trouve \(P^3=I_3\).
Une matrice \(R\) est semblable à une matrice \(S\) s'il existe une matrice inversible \(Q\) telle que \(R=QSQ^-1\). Dans ce cas \(R^n=QS^nQ^{-1}\).
Une matrice carrée \(M\) d'ordre \(n\) est inversible si et seulement si il existe une matrice carrée \(N\) d'ordre \(n\) telle que \(MN=NM=I_n\), où \(I_n\) est la matrice unité d'ordre \(n\). Dans ce cas \(M\) est l'inverse de \(N\), et \(N\) est l'inverse de \(M\).
Aide à la lecture
On veut calculer des puissances de matrices carrées d'ordre 3, plusieurs méthodes sont suggérées : calcul des premières puissances, théorie des matrices semblables.
Aide méthodologique
En général, lorsqu'on veut calculer les puissances d'une matrice, on peut :
soit calculer les premières puissances, et si ce calcul permet de "deviner" la forme de toutes les autres puissances, on démontre la formule adéquate (par récurrence ou autrement).
soit se servir d'une matrice (dont la forme permet un calcul plus simple) semblable à la matrice donnée.
Solution détaillée
On a vu dans la question 2.c que \(A=P^2BP=P^2B(P^2)^{-1}\).
D'après le théorème "Relation entre les puissances de deux matrices semblables", on obtient pour tout entier \(n\) strictement positif : \(A^n=P^2B^n(P^2)^{-1}=P^2B^nP\).
Théorème : Relation entre les puissances de deux matrices semblables
Soient \(A\) et \(B\) deux matrices semblables, c'est-à-dire telles qu'il existe une matrice inversible \(P\) telle que \(A=PBP^{-1}\).
Alors pour tout entier positif \(p\), on a \(A^P=PB^PP^{-1}\), et donc \(A^P\) et \(B^P\) sont semblables.
Après calcul de \(P^2B^nP\), on trouve : \(A^n=\left(\begin{array}{c c c}2^{n+2}-3&3(-1)^n-3&3-2^{n+1}+(-1)^{n+1}\\2^{n+1}-2&3(-1)^n-2&2-2^n+(-1)^{n+1}\\6(2^n-1)&6(-1)^n-6&6-3\times2^n+2(-1)^{n+1}\end{array}\right)\)
Question
Calculez \(C\). Donnez une méthode de calcul de \(C^n\).
Aide simple
On trouve \(P^3=I_3\).
Une matrice \(R\) est semblable à une matrice \(S\) s'il existe une matrice inversible \(Q\) telle que \(R=QSQ^-1\). Dans ce cas \(R^n=QS^nQ^{-1}\).
Une matrice carrée \(M\) d'ordre \(n\) est inversible si et seulement si il existe une matrice carrée \(N\) d'ordre \(n\) telle que \(MN=NM=I_n\), où \(I_n\) est la matrice unité d'ordre \(n\). Dans ce cas \(M\) est l'inverse de \(N\), et \(N\) est l'inverse de \(M\).
Aide à la lecture
On veut calculer des puissances de matrices carrées d'ordre 3, plusieurs méthodes sont suggérées : calcul des premières puissances, théorie des matrices semblables.
Aide méthodologique
En général, lorsqu'on veut calculer les puissances d'une matrice, on peut :
soit calculer les premières puissances, et si ce calcul permet de "deviner" la forme de toutes les autres puissances, on démontre la formule adéquate (par récurrence ou autrement).
soit se servir d'une matrice (dont la forme permet un calcul plus simple) semblable à la matrice donnée.
Solution détaillée
Le calcul de \(C\), en utilisant l'égalité \(C=P^2AP\), donne : \(C=\left(\begin{array}{c c c}-13&7&5\\-12&7&4\\-18&9&8\end{array}\right)\)
Dans la question 2.b, on a vu que \(C\) est semblable à \(A\) et que \(C=P^2A(P^2)^{-1}\).
Donc, de même que précédemment, on pourrait calculer \(C^n\) en utilisant les égalités \(C^n=P^2A^n(P^2)^{-1}=P^2A^nP\).
Mais \(A^n\) n'est pas une matrice simple et le calcul de serait \(C^n\) compliqué.
Il vaut mieux se servir du fait que \(C\) est semblable à la matrice diagonale \(B\) et que \(C=PBP^2=PBP^{-1}\) (vu dans la question 2.c).
Il suffirait donc de se servir de l'égalité \(C^n=PB^nP^2\) pour calculer \(C^n\).