Recherche de l'inverse d'une matrice vérifiant une relation polynômiale
Partie
Question
Soient les matrices \(A=\left(\begin{array}{c c c}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{array}\right)\) et \(A=\left(\begin{array}{c c c}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right)\).
Vérifier que \(A^2-5A+4I=O\).
En déduire que \(A\) est inversible et calculer sa matrice inverse.
Aide simple
Pour transformer l'égalité \(A^2-5A+4I=O\) sous la forme \(AA'=A'A=I\) utiliser la propriété \(A=AI=IA\), puis la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition dans \(M_3(R):AB+AC=A(B+C)\) et \(BA+CA=(B+C)A\).
Aide à la lecture
Les matrices \(A\) et \(I\) appartiennent à \(M_3(R)\). Il en est donc de même pour les matrices \(A^2,5A,4I\), d'autre part \(O\) désigne la matrice nulle de \(M_3(R)\).
Une matrice \(A\) est inversible s'il existe une matrice \(A'\) telle que \(AA'=A'A=I\).
Aide méthodologique
Pour montrer que la matrice \(A\) est inversible et pour calculer son inverse le texte suggère d'utiliser l'égalité \(A^2-5A+4I=O\).
La méthode est de transformer cette égalité sous la forme \(AA'=A'A=I\) où \(A'\) est une matrice de \(M_3(R)\).
Solution détaillée
\(A^2=\left(\begin{array}{c c c}6&5&5\\5&6&5\\5&5&6\end{array}\right)\)
\(A^2-5A+4I=\left(\begin{array}{c c c}6&5&5\\5&6&5\\5&5&6\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c c c}10&5&5\\5&10&5\\5&5&10\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c c c}4&0&0\\0&4&0\\0&0&4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c c c}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{array}\right)\)
On cherche s'il existe une matrice \(A'\) telle que \(AA'=A'A=I\).
L'égalité \(A^2-5A+4I=O\) est équivalente à l'égalité \(4I=5A-A^2\) (1).
On multiplie les deux membres de l'égalité (1) par \(\frac{1}4\)
(1)\(\Leftrightarrow I=\frac{5}4A-\frac{1}4A^2\)
On sait que \(A=AI=IA\), donc (1)\(\Leftrightarrow I=\frac{5}4AI-\frac{1}4A^2\) et (1)\(\Leftrightarrow I=\frac{5}4IA-\frac{1}4A^2\)
Dans \(M_3(R)\) la multiplication est distributive par rapport à l'addition. On peut donc mettre \(A\) en facteur dans les deux derniers membres des deux égalités.
D'où \(I=A(\frac{5}4I-\frac{1}4A)=(\frac{5}4I-\frac{1}4A)A\).
On a donc trouvé une matrice \(A'\) de \(M_3(R)\) telle que \(AA'=A'A=I\), avec \(A'=\frac{5}4I-\frac{1}4A=\frac{1}4(5I-A)\).
La matrice \(A\) est donc inversible et, d'après l'unicité de l'inverse, sa matrice inverse notée \(A^{-1}\) est la matrice \(A'\).
\(A^{-1}=\frac{1}4\left(\begin{array}{c c c}3&-1&-1\\-1&3&-1\\-1&-1&3\end{array}\right)\)
Question
Soit \(M\) une matrice de \(M_n(K)\) pour laquelle il existe une relation de la forme \(a_0I+a_1M+...+a_qM^q=O\), avec \(a_0,a_1,...,a_q\) éléments de \(K\) et \(a_0\ne0\) (la matrice \(I\) désigne la matrice unité de \(M_n(K)\))
Montrer que \(M\) est inversible et calculer sa matrice inverse.
Aide à la lecture
Les matrices \(M,...,M^4\) sont des matrices de \(M_n(K)\). La matrice \(I\) désigne la matrice unité de \(M_n(K)\) et \(O\) désigne la matrice nulle de \(M_n(K)\).
Aide méthodologique
La question 2 est une généralisation de la question 1. On utilise donc la même méthode.
Solution détaillée
\(a_0I+a_1M+...+a_qM^q=O\Leftrightarrow a_0I=-a_1M-...-a_qM^q\) (2)
\(a_0\ne0\) donc (2)\(\Leftrightarrow I=-\frac{a_1}{a_0}M-...-\frac{a_q}{a_0}M^q\)
Dans \(M_n(K)\) la multiplication est distributive par rapport à l'addition. On peut donc mettre \(M\) en facteur dans le deuxième membre de l'égalité (2)
\(I=M(-\frac{a_1}{a_0}I-...-\frac{a_q}{a_0}M^{q-1})=(-\frac{a_1}{a_0}I-...-\frac{a_q}{a_0}M^{q-1})M\)
Il existe donc une matrice \(M'\) de \(M_n(K)\) telle que \(MM'=M'M=I\).
La matrice \(M\) est donc inversible et sa matrice inverse est : \(M^{-1}=-\frac{a_1}{a_0}I-...-\frac{a_q}{a_0}M^{q-1}\)