Définition
Le déterminant est un outil permettant, par exemple, de tester si une famille de \(n\) vecteurs dans un espace de dimension \(n\) est libre, ou de donner une caractérisation des matrices carrées inversibles.
L'ordre d'exposition choisi ici est de définir la notion de déterminant d'une matrice et d'en déduire la notion de déterminant d'une famille de vecteurs par rapport à une base.
Il y a aussi la possibilité de faire la démarche inverse, c'est-à-dire de définir le déterminant d'une famille finie de \(n\) vecteurs d'un espace vectoriel de dimension \(n\) par rapport à une base, puis de définir le déterminant d'une matrice carrée d'ordre \(n\) comme étant le déterminant de la famille de ses vecteurs colonnes par rapport à la base canonique de \(K^n\).
Les deux démarches sont également intéressantes et conduisent de manière analogue à la notion de déterminant d'un endomorphisme, qui est en fait le point essentiel ; c'est une notion intrinsèque ne dépendant pas du choix d'une base.
Dans tout ce qui suit, \(K\) désigne le corps des nombres réels ou celui des nombres complexes.
Il pourrait être remplacé par un corps quelconque de caractéristique différente de 2. Pour ceux qui ne connaissent pas la notion de caractéristique, il suffit de savoir que dans un corps de caractéristique 2, l'égalité \(x + x = 0\) n'entraîne pas \(x = 0\).