Déterminant d'un endomorphisme
Définition
Les résultats précédents permettent de définir la notion de déterminant d'un endomorphisme d'un espace vectoriel de type fini.
Soit \(E\) un espace vectoriel de type fini et \(f\) un endomorphisme de \(E\).
Le cours sur les matrices prouve que les matrices associées à \(f\) par rapport à deux bases différentes sont semblables. Elles ont donc même déterminant. Cela permet de donner la définition suivante :
Théorème : Définition du déterminant d'un endomorphisme
Soit \(E\) un espace vectoriel de type fini et \(f\) un endomorphisme de \(E\).
Toutes les matrices associées à \(f\) par rapport à des bases différentes de \(E\) ont le même déterminant qui est appelé le déterminant de \(f\).
Dans la pratique, il y aura intérêt à choisir une base dans laquelle la matrice de f est " simple " pour pouvoir calculer facilement son déterminant.
Propriétés
Le déterminant d'un endomorphisme vérifie donc les propriétés suivantes :
Théorème : Propriétés du déterminant d'un endomorphisme d'un espace de type fini.
Soit \(E\) un K-espace vectoriel de dimension finie \(n\).
\(\det(Id_E)=1\)
Soient \(f\) et \(g\) deux endomorphismes de \(E\). Alors \(\det(f\circ g)=(\det f)(\det g)\).
Soit \(f\) un endomorphisme de \(E\). Il est inversible si et seulement si son déterminant est non nul, soit \(\det f\neq0\).
Pour toute base \(B_E=(e_1,e_2,\ldots,e_n)\) de \(E\) et toute famille \(V_1,V_2,\ldots,V_n\) de vecteurs de \(E\),
on a \(\det_{B_E}(V_1,V_2,\ldots,V_n)=\det(f)\) où \(f\) est l'endomorphisme de \(E\) caractérisé par :
\(\forall i\), \(1\leq i\leq n\), \(f(e_i)=V_i\).
Les propriétés 1., 2. et 3. sont la traduction de ce qui a été vu pour les matrices.
La propriété 4. est immédiate : il suffit d'observer que d'après la définition de \(f\), \(V_j\) est la \(j\)-ième colonne de la matrice associée à \(f\) dans la base \(B_E\) et d'appliquer les définitions.