Introduction
Les généralités sur les systèmes linéaires sont supposées connues.
Les systèmes qui vont être étudiés dans ce paragraphe sont ceux qui ont un nombre d'équations égal au nombre d'inconnues.
Soit \(n\) un entier supérieur ou égal à 1 et \((S)\) le système :
\((S\left\{\begin{array}{ccccccc}a_{1,1}x_1&+&\ldots&+&a_{1,n}x_n&=&b_1\\a_{2,1}x_1&+&\ldots&+&a_{2,n}x_n&=&b_2\\\ldots&&\ldots&&\ldots&&\\\\a_{n,1}x_1&+&\ldots&+&a_{n,n}x_n&=&b_n\end{array}\right.\)
Il peut être écrit, en utilisant les matrices, de deux façons :
Première façon :
En posant \(A=\left(\begin{array}{ccc}a_{1,1}&\ldots&a_{1,n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n,1}&\ldots&a_{n,n}\end{array}\right)\), \(X=\left(\begin{array}{c}x_1\\\vdots\\x_n\end{array}\right)\) et \(B=\left(\begin{array}{c}b_1\\\vdots\\b_n\end{array}\right)\), le système \((S)\) est équivalent à l'équation matricielle \(AX=B\). La matrice \(A\) est appelée matrice du système.
Remarque : La matrice \(A\) est une matrice carrée d'ordre \(n\), nombre d'équations et d'inconnues.
Deuxième façon :
Soit \(C_j(A)=\left(\begin{array}{c}a_{1,j}\\\vdots\\a_{n,j}\end{array}\right)\), la \(j\)-ième colonne de \(A\), le système \((S)\) équivaut à l'égalité \(x_1C_1(A)+x_2C_2(A)+\ldots+x_nC_n(A)=B\).
La première forme va permettre de définir la notion de système de Cramer, la deuxième permettra d'avoir une expression explicite des solutions d'un système de Cramer, dites formules de Cramer.