Formules de Cramer
Elles donnent une expression des solutions d'un système de Cramer.
Théorème : Formules de Cramer
Soit \((S)\) un système de Cramer \(AX=B\).
Pour chaque \(i\) compris entre 1 et \(n\), soit la matrice obtenue en remplaçant la \(i\)-ième colonne de \(A\) par la colonne des seconds membres, \(\begin{array}{c}b_1\\\vdots\\b_n\end{array}\)et en laissant les autres inchangées.
Alors la solution du système est le \(n\)-uplet \(x=(x_1,x_2,\ldots,x_n)\) avec pour tout \(i\) compris entre 1 et \(n\), \(x_i=\frac{1}{\det A}\det(A_i)\)
Preuve :
Le système considéré est de Cramer, il admet donc une solution unique \(x=(x_1,x_2,\ldots,x_n)\). Les scalaires \(x_i\) vérifient la relation (*) \(x_1C_1(A)+x_2C_2(A)+\ldots+x_nC_n(A)=B\).
Alors comme \(\det A_i=\det(C_1(A),\ldots,C_{i-1}(A),B,C_{i+1}(A),\ldots,C_n(A))\) il vient en utilisant la relation (*)
\(\det A_i=\det(C_1(A),\ldots,C_{i-1}(A),x_1C_1(A)+x_2C_2(A)+\ldots+x_nC_n(A),C_{i+1}(A),\ldots,C_n(A))\)
Or un déterminant est une forme \(n\)-linéaire alternée, donc l'égalité précédente devient :
\(\det A_i=\det(C_1(A),\ldots,C_{i-1}(A),x_iC_i(A),C_{i+1}(A),\ldots,C_n(A))\)
\(=x_i\det(C_1(A),\ldots,C_{i-1}(A),C_i(A),C_{i+1}(A),\ldots,C_n(A))=x_i\det A\)
Comme le déterminant de \(A\) est non nul, cela donne bien le résultat annoncé.
Exemple :
Etude du système \(\left\{\begin{array}{ccccccc}2x_1&+&3x_2&+&x_3&=&9\\x_1&+&2x_2&+&3x_3&=&6\\3x_1&+&x_2&+&2x_3&=&8\end{array}\right.\)
La matrice du système est \(A=\left(\begin{array}{ccc}2&3&1\\1&2&3\\3&1&2\end{array}\right)\). Son déterminant \(\left|\begin{array}{ccc}2&3&1\\1&2&3\\3&1&2\end{array}\right|\) est égal à 18. Il est non nul, le système est donc un système de Cramer. Il admet donc une unique solution \(x=(x_1,x_2,x_3)\) avec :
\(x_1=\frac{1}{\det A}\det\left(\begin{array}{ccc}9&3&1\\6&2&3\\8&1&2\end{array}\right)\), soit \(x_1=\frac{35}{18}\)
\(x_2=\frac{1}{\det A}\det\left(\begin{array}{ccc}2&9&1\\1&6&3\\3&8&2\end{array}\right)\), soit \(x_2=\frac{29}{18}\)
\(x_2=\frac{1}{\det A}\det\left(\begin{array}{ccc}2&3&9\\1&2&6\\3&1&8\end{array}\right)\), soit \(x_2=\frac{5}{18}\)
Donc l'unique solution du système est \((x_1,x_2,x_3)=\left(\frac{38}{18},\frac{29}{18},\frac{5}{18}\right)\).
Remarque :
Les formules de Cramer se démontrent et s'énoncent très simplement, mais peuvent conduire à des calculs fastidieux (beaucoup de déterminants à calculer). Dans la pratique, la méthode du Pivot de Gauss est souvent plus rapide.