Système de Cramer : définitions et propriétés
Les notations utilisées sont celles données dans l'introduction.
Définition : Système de Cramer
Soit \((S)\)un système linéaire de \(n\) équations à \(n\) inconnues. On dit qu'il est de Cramer si sa matrice est inversible.
Alors on a le théorème suivant :
Théorème : Caractérisation d'un système de Cramer
Soit \((S)\) un système linéaire \(AX=B\) de \(n\) équations à \(n\) inconnues dont la matrice \(A\in M_n(K)\) est fixée. Les 6 conditions suivantes sont équivalentes :
\((S)\) est un système de Cramer
\(\det A\neq 0\)
Pour tout choix du second membre \(B\), le système a une solution unique
Pour tout choix du second membre \(B\), le système a au moins une solution
Pour tout choix du second membre \(B\), le système a au plus une solution
Le système homogène de matrice A \((AX=\bigcirc)\) a une solution et une seule qui est la solution triviale \((0,\ldots,0)\)
Si ces conditions sont vérifiées, l'unique solution du système \(AX=B\) est \(X=A^{-1}B\).
Preuve :
elle est basée sur les propriétés suivantes :
D'une part, une matrice carrée est inversible si et seulement si son déterminant est non nul.
D'autre part, si \(f\) est l'endomorphisme de \(R^n\) dont la matrice dans la base canonique est égale à \(A\), résoudre le système \(AX=B\) revient à résoudre l'équation vectorielle \(f(x)=b\) avec \(x=(x_1,x_2,\ldots,x_n)\) et \(b=(b_1,b_2,\ldots,b_n)\).
De plus, on a les équivalences :
\(A\textrm{ inversible}\Leftrightarrow f\textrm{ inversible}\Leftrightarrow f\textrm{ bijective}\Leftrightarrow f\textrm{ injective} \Leftrightarrow f\textrm{ surjective}\)
Les vérifications sont alors immédiates.