Inversibilité du produit de deux matrices carrées

Durée : 5 mn

Note maximale : 5

Question

Soit \(A\) une matrice carrée d'ordre \(n\) \((A \in M_n(K))\), on dit que la matrice \(A\) est singulière si elle n'est pas inversible.

Démontrer que le produit de deux matrices \(A\), \(B\) de \(M_n(K)\) est une matrice singulière, si et seulement si au moins l'une des deux matrices \(A\) ou \(B\) est singulière.

Solution

Le déterminant du produit de deux matrices carrées est égal au produit des déterminants de chacune des matrices : \(\det AB=\det A\det B\).

On a donc l'équivalence des propositions suivantes :

  1. Le produit \(AB\) est une matrice singulière

  2. \(\det AB=0\)

  3. \(\det A\det B=0\)

  4. \(\det A=0\) ou \(\det B=0\)

  5. \(A\) est singulière ou \(B\) est singulière

D'où

Le produit \(AB\) est une matrice singulière \(\Leftrightarrow\) \(A\) est singulière ou \(B\) est singulière