Dépendance linéaire d'une famille de vecteurs
Durée : 10 mn
Note maximale : 10
Question
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\) sur \(K\) (\(K=R\) ou \(K=C\)), et \(B=(e_1,e_2,\ldots,e_n)\) une base de \(E\).
On considère les vecteurs de \(E\), \(u_1,u_2,\ldots,u_n\), définis par :
\(\begin{array}{ccc}u_1&=&e_1+e_2\\u_2&=&e_2+e_3\\\vdots&&\\u_{n-1}&=&e_{n-1}=e_n\\u_n&=&e_n+e_1\end{array}\)
Étudier la dépendance linéaire de ces vecteurs.
Solution
Il s'agit d'étudier la dépendance linéaire de \(n\) vecteurs d'un espace vectoriel de dimension \(n\), on peut donc considérer le déterminant de ces vecteurs relativement à la base \(B\).
\(D_n=\det_B(u_1,u_2,\ldots,u_n)=\left|\begin{array}{ccccc}1&0&\ldots&0&1\\1&1&\ldots&0&0\\0&1&\ddots&\vdots&\vdots\\\vdots&\vdots&\ddots&1&0\\0&0&\ldots&1&1\end{array}\right|\)
En développant suivant la première ligne on obtient :
\(D_n=1\left|\begin{array}{ccccc}1&0&\ldots&\ldots&1\\1&1&\ddots&&\vdots\\0&1&\ddots&\ddots&\vdots\\\vdots&\ddots&\ddots&1&0\\0&\ldots&0&1&1\end{array}\right|+(-1)^{n+1}\left|\begin{array}{ccccc}1&1&0&\ldots&0\\0&1&\ddots&\ddots&\vdots\\0&0&\ddots&\ddots&0\\\vdots&\ddots&\ddots&1&1\\0&\ldots&0&0&1\end{array}\right|\)
Les deux déterminants d'ordre \(n-1\) qui figurent dans l'égalité précédente sont triangulaires et ont pour valeur 1.
On obtient donc : \(D_n=1+(-1)^{n+1}\)
Suivant la parité de \(n\) (la dimension de \(E\)), est nul ou égal à 2.
En conclusion :
si \(n\) est impair, \(D_n\) est non nul, et \(\{u_1,u_2,\ldots,u_n\}\) est une famille libre de \(E\) (l'espace étant de dimension \(n\), ces vecteurs déterminent une base de \(E\)).
si \(n\) est pair, \(D_n\) est nul, et \(\{u_1,u_2,\ldots,u_n\}\) est une famille liée de \(E\) (le rang de cette famille est alors égal à \(n-1\) car on peut extraire de \(D_n\) un mineur d'ordre \(n-1\) égal à 1).