Applications des déterminants

1. Le produit \(AB\) existe car le nombre de colonnes de \(A\) est égal au nombre de lignes de \(B\), c'est une matrice dont le nombre de lignes est égal à celui de \(A\) et le nombre de colonnes celui de \(B\) : c'est donc une matrice carrée d'ordre \(n\).

2. La matrice produit \(AB\) est une matrice carrée, on peut donc considérer son déterminant ; en revanche, il serait absurde de considérer les déterminants de \(A\) ou de \(B\) puisque ce sont des matrices strictement rectangulaires (car \(n>p\)).

   La matrice \(A\) a \(p\) colonnes et \(n\) lignes, on peut la considérer comme la matrice d'une application linéaire \(f\) de \(K^p\) dans \(K^n\) relativement aux bases canoniques de ces deux espaces.

   La matrice \(B\) a \(n\) colonnes et \(p\) lignes, on peut la considérer comme la matrice des coordonnées de \(n\) vecteurs \(u_1,u_2,\ldots,u_n\) de relativement à la base canonique de \(K^p\).

   Le produit de \(A\) par la \(j\)-ième colonne de \(B\) donne la colonne des coordonnées de \(f(u_j)\) relativement à la base canonique de \(K^n\).

   La matrice produit \(AB\) est donc égale à la matrice des coordonnées des vecteurs \(f(u_1),f(u_2),\ldots,f(u_n)\) relativement à la base canonique de \(K^n\).

   La nullité du déterminant de \(AB\) équivaut donc à la dépendance linéaire de ces vecteurs.

   L'entier \(n\), nombre de vecteurs de la famille \(\{u_1,u_2,\ldots,u_n\}\), étant strictement supérieur à \(p\) la dimension de \(K^p\), \(\{u_1,u_2,\ldots,u_n\}\) est nécessairement liée.

   Or l'image l'une famille liée par une application linéaire est une famille liée.

   En effet, si \(\alpha_1u_1+\alpha_2u_2+\ldots+\alpha_nu_n=0_{K^p}\) \((\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n)\neq (0,0,\ldots,0)\) est une relation de dépendance entre \(u_1,u_2,\ldots,u_n\),

   alors on a \(f(\alpha_1u_1+\alpha_2u_2+\ldots+\alpha_nu_n)=f(0_{k^p})=0_{K^n}\)

   D'où \(\alpha_1f(u_1)+\alpha_2f(u_2)+\ldots+\alpha_nf(u_n)=0_{K^n}\)

   Les vecteurs \(f(u_1),f(u_2),f(u_n)\) sont donc liés par la même relation de dépendance que \(u_1,u_2,\ldots,u_n\).

   Donc \(\left\{f(u_1),f(u_2),\ldots,f(u_n)\right\}\) est liée et \(\det AB=0\).

Autres démonstrations possibles

On pouvait interpréter la matrice \(B\) comme la matrice d'une application linéaire \(g\) de \(K^n\) dans \(K^p\) relativement aux bases canoniques de ces deux espaces. Le produit \(AB\) est alors la matrice de l'endomorphisme de \(K^n\) \(f\circ g\) relativement à la base canonique de cet espace.

De l'inégalité \(n>p\) on peut déduire :

• ou bien que \(g\) n'est pas injective et donc \(f\circ g\) non plus (à justifier)

• ou bien que \(f\) n'est pas surjective et donc \(f\circ g\) non plus (à justifier)

Dans les deux cas on peut conclure que \(f\circ g\) n'est pas bijective et que, par conséquent, son déterminant est nul...