Systèmes linéaires d'ordre 2 ou 3 sans paramètre
Partie
Question
Résoudre les systèmes linéaires suivants en utilisant les formules de Cramer :
\(\left\{\begin{array}{ccccc}(1+i)x&+&2iy&=&5-i\\ix&-&3y&=&2-3i\end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{ccccccc}x&+&2y&+&3z&=&1\\2x&+&3y&+&z&=&4\\3x&+&2y&+&2z&=&1\end{array}\right.\)
Aide simple
Dans le cas particulier d'un système linéaire de 2 équations à 2 inconnues de Cramer :
\(\left\{\begin{array}{ccccc}ax&+&by&=&c\\a'x&-&b'y&=&c'\end{array}\right.\) \(D=\left|\begin{array}{cc}a&b\\a'&b'\end{array}\right|\), \(D\neq 0\)
les formules de Cramer s'écrivent :
\(x=\frac{\left|\begin{array}{cc}c&b\\c'&b'\end{array}\right|}{D}\) \(y=\frac{\left|\begin{array}{cc}a&c\\a'&c'\end{array}\right|}{D}\)
Aide méthodologique
Pour chacun des systèmes on calcule d'abord le déterminant du système, ce qui permet de vérifier qu'il est non nul.
Puis on calcule le couple ou le triplet solution en utilisant les formules de Cramer.
Aide à la lecture
Il existe plusieurs méthodes pour résoudre les systèmes linéaires, ici le texte impose l'utilisation des formules de Cramer. Ceci suppose que les formules sont applicables c'est à dire que les systèmes proposés sont des systèmes de Cramer donc ayant le même nombre d'équations et d'inconnues et de déterminant non nul.
Solution détaillée
Le déterminant du système est : \(D=\left|\begin{array}{cc}1+i&2i\\i&-3\end{array}\right|=-1-3i\).
Il est non nul, il s'agit donc bien d'un système de Cramer et il a un couple solution unique \((x,y)\) que l'on peut calculer avec les formules de Cramer.
\(x=\frac{\left|\begin{array}{cc}5-i&2i\\2-3i&-3\end{array}\right|}{D}=\frac{-21-i}{-1-3i}=\frac{(21+i)(1-3i)}{(1+3i)(1-3i)}=\frac{24-62i}{10}=\frac{13-31i}{5}\)
\(y=\frac{\left|\begin{array}{cc}1+i&5-1\\i&2-3i\end{array}\right|}{D}=\frac{4-6i}{-1-3i}=\frac{-2(2-3i)(1-3i)}{(1+3i)(1-3i)}=\frac{-2(-7-9i)}{10}=\frac{7+9i}{5}\)
Le système admet donc comme solution unique, le couple : \(\left(\frac{12-31i}{5},\frac{7+9i}{5}\right)\)
On procède de même pour le second système.
Le déterminant du système est : \(D=\left|\begin{array}{ccc}1&2&3\\2&3&1\\3&2&2\end{array}\right|\)
On peut le calculer en utilisant la règle de Sarrus (ou en le développant par rapport à une ligne ou une colonne)
\(D=6+12+6-(27+2+8)=24-37=-13\)
Le système proposé est bien un système de Cramer, il a un triplet solution unique.
Les formules de Cramer donnent :
\(x=\frac{\left|\begin{array}{ccc}1&2&3\\4&3&1\\1&2&2\end{array}\right|}{D}=\frac{6+2+24-(9+2+16)}{-13}=-\frac{5}{13}\)
\(y=\frac{\left|\begin{array}{ccc}1&1&3\\2&4&1\\3&1&2\end{array}\right|}{D}=\frac{8+3+6-(36+4+1)}{(-13)}=\frac{24}{13}\)
\(z=\frac{\left|\begin{array}{ccc}1&2&1\\2&3&4\\3&2&1\end{array}\right|}{D}=\frac{3+24+4-(9+8+4)}{(-13)}=-\frac{10}{13}\)
L'unique solution du système est donc le triplet : \(\left(\frac{-5}{13},\frac{24}{13},\frac{-10}{13}\right)\)