Système homogène avec paramètre
Partie
Question
Pour quelles valeurs du paramètre réel m le système suivant admet-il d'autres solutions que la solution triviale \((0,0,0)\)?
\(\left\{\begin{array}{ccccccc}(1-m)x&+&y&+&2z&=&0\\2x&+&(1-m)y&+&z&=&0\\&&y&+&(3-m)z&=&0\end{array}\right.\)
Résoudre le système pour les valeurs de \(m\) obtenues.
Aide simple
On calcule le déterminant du système en utilisant une méthode de calcul qui donne une factorisation de ce déterminant. Plutôt que la règle de Sarrus ou un développement direct suivant une ligne ou une colonne, on utilise de préférence les propriétés du déterminant et la forme particulière de celui-ci pour faire apparaître un facteur commun dans une ligne ou une colonne.
Aide méthodologique
Dans le cas d'un système linéaire homogène ayant le même nombre d'équations et d'inconnues, ou bien le déterminant est non nul et l'unique solution est la solution nulle, ou bien le déterminant est nul et le système admet une infinité de solutions (l'ensemble des solutions est un espace vectoriel de dimension supérieure ou égale à 1).
Aide à la lecture
Un système linéaire homogène est un système linéaire dont tous les seconds membres sont nuls. Un tel système admet toujours la solution évidente \((0,\ldots,0)\) ; son ensemble de solutions n'est jamais vide.
Solution détaillée
Le système linéaire est homogène, donc il admet \((0,0,0)\) comme solution. Cette solution est unique si et seulement si \(D\) le déterminant du système est non nul ; on en déduit qu'il admet \((0,0,0)\) d'autres solutions que si et seulement si \(D\) est nul.
Le déterminant du système est :
\(D=\left|\begin{array}{ccc}1-m&1&2\\2&1-m&1\\0&1&3-m\end{array}\right|\)
On cherche donc les valeurs de \(m\) qui annulent \(D\) ; la méthode choisie pour le calcul de \(D\) doit donc privilégier une factorisation de \(D\).
On observe qu'en retranchant la troisième ligne de la première (\(L_1\leftarrow L_1-L_3\)), on obtient une factorisation par \((1-m)\) :
\(D=\left|\begin{array}{ccc}1-m&0&m-1\\2&1-m&1\\0&1&3-m\end{array}\right|=(1-m)\left|\begin{array}{ccc}1&0&-1\\2&1-m&1\\0&1&3-m\end{array}\right|\)
On fait ensuite la transformation \(C_3\leftarrow C_3+C_1\), puis on développe suivant la première ligne.
\(D=(1-m)\left|\begin{array}{ccc}1&0&0\\2&1-m&3\\0&1&3-m\end{array}\right|=(1-m)\left|\begin{array}{cc}1-m&3\\1&3-m\end{array}\right|=(1-m)(m^2-4m)\)
D'où \(D=-m(m-1)(m-4)\).
Le système admet donc des solutions autres que \((0,0,0)\) si et seulement si \(m\in\{0,1,4\}\).
Étudions maintenant le système pour chacune de ces trois valeurs de \(m\).
Cas \(m=0\)
Le système s'écrit \(\left\{\begin{array}{ccccccc}x&+&y&+&2z&=&0\\2x&+&y&+&z&=&0\\&&y&+&3z&=&0\end{array}\right.\)
En utilisant la méthode du pivot de Gauss on obtient les systèmes équivalents :
\(\left\{\begin{array}{ccccccc}x&+&y&+&2z&=&0\\&&-y&-&3z&=&0\\&&y&+&3z&=&0\end{array}\right.\) \(L_2\leftarrow L_2-2L_1\)
\(\left\{\begin{array}{ccccccc}x&+&y&+&2z&=&0\\&&y&+&3z&=&0\end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{ccc}x&=&z\\y&=&-3z\end{array}\right.\)
L'ensemble des solutions est donc \(S=\left\{(\lambda,-3\lambda,\lambda)/\lambda\in R\right\}\) c'est le sous-espace vectoriel de \(R^3\) engendré par \((1,-3,1)\). Ce vecteur étant non nul, \(S\) est la droite vectorielle de base \((1,-3,1)\).
Cas \(m=1\)
Le système s'écrit \(\left\{\begin{array}{ccccccc}&&y&+&2z&=&0\\2x&&&+&z&=&0\\&&y&+&2z&=&0\end{array}\right.\)
Il est équivalent à
\(\left\{\begin{array}{ccccccc}2x&&&+&z&=&0\\&&y&+&2z&=&0\end{array}\right.\)
\(\left\{\begin{array}{ccc}z&=&-2x\\y&=&4x\end{array}\right.\)
L'ensemble des solutions est donc \(S=\left\{(\lambda,4\lambda,-2\lambda)/\lambda\in R\right\}\) c'est le sous-espace vectoriel de \(R^3\) engendré par \((1,4,-2)\). Ce vecteur étant non nul, \(S\) est la droite vectorielle de base \((1,4,-2)\).
Cas \(m=4\)
Le système s'écrit \(\left\{\begin{array}{ccccccc}-3x&+&y&+&2z&=&0\\2x&-&3y&+&z&=&0\\&&y&-&z&=&0\end{array}\right.\)
Il est équivalent à :
\(\left\{\begin{array}{cccccccc}-3x&+&3y&&&=&0&L_1\leftarrow L_1+2L_3\\2x&-&2y&&&=&0&L_2\leftarrow L_2+L_3\\&&y&-&z&=&0&\end{array}\right.\)
D'où \(\left\{\begin{array}{ccc}x&=&y\\z&=&y\end{array}\right.\)
L'ensemble des solutions est donc \(S=\left\{(\lambda,\lambda,\lambda)/\lambda\in R\right\}\) c'est le sous-espace vectoriel de \(R^3\) engendré par \((1,1,1)\). Ce vecteur étant non nul, \(S\) est la droite vectorielle de base \((1,1,1)\).