Unicité des développements limités
Jusqu'ici, on aurait pu imaginer qu'une fonction donnée ait plusieurs développements limités à l'ordre 4 par exemple, ou bien plusieurs développements limités à l'ordre 7, etc. Cela ne peut pas arriver comme l'exprime le théorème suivant :
Théorème : Théorème 1
Si \(f\) admet un développement limité à l'ordre \(n\) en 0, alors ce développement limité est unique.
Preuve :
Soit \(f(x)=P(x)+x^n\epsilon_1(x)\) et \(f(x)=Q(x)+x^n\epsilon_2(x)\) deux développements limités de \(f\) à l'ordre \(n\) en 0 ; montrons que \(P=Q\) (on aura alors \(\epsilon_1=\epsilon_2\)). On raisonne par récurrence sur l'ordre \(n\) :
\(n = 0\) : \(f(x)=a_0+\epsilon_1(x)=b_0+\epsilon_2(x)\), on a alors \(\lim_{x\rightarrow0}f(x)=a_0=b_0\).
On suppose la propriété vraie à l'ordre \((n - 1)\) ; en tronquant les deux développements à l'ordre \((n - 1)\), on obtient :
\(\left\{\begin{array}{ll}f(x)=[P]_{n-1}(x)+x^{n-1}\epsilon_3(x)&\textrm{ avec }\lim_{x\rightarrow0}\epsilon_3(x)=0\\f(x)=[Q]_{n-1}(x)+x^{n-1}\epsilon_4(x)&\textrm{ avec }\lim_{x\rightarrow0}\epsilon_4(x)=0\end{array}\right.\)
sont deux développements limités de \(f\) à l'ordre \((n - 1)\) en 0 donc, d'après l'hypothèse de récurrence, \([P]_{n-1}=[Q]_{n-1}\).
Puisque \(P(x)=[P]_{n-1}(x)+a_nx^n\) et \(Q(x)=[Q]_{n-1}(x)+b_nx^n\) , il reste à montrer que \(a_n=b_n\) ; il suffit de remarquer que :
\(\displaystyle{a_n=\lim_{x\rightarrow0}\frac{f(x)-[P]_{n-1}(x)}{x^n}}\) et \(\displaystyle{b_n=\lim_{x\rightarrow0}\frac{f(x)-[Q]_{n-1}(x)}{x^n}}\)
Dans la suite, lorsque \(f\) possèdera un développement limité à l'ordre \(n\) en 0, nous parlerons du développement limité de \(f\) à l'ordre \(n\) en 0.