Développements limités et dérivabilité
Lorsque \(f\) est de classe \(C^{n+1}\) sur un voisinage de 0, \(f\) possède un développement limité à l'ordre \(n\) en 0. Mais la réciproque est fausse en général comme on va le voir ; on a quand même le résultat suivant :
Proposition : Proposition 3
Soit \(f\) définie sur un voisinage pointé de 0 ; on suppose que \(f\) possède un développement limité à l'ordre \(n\) en 0, avec \(n\ge1\). Alors on peut prolonger \(f\) en 0, en une fonction dérivable au point 0.
Preuve :
En effet, pour tout \(x\in V^*(0)\) : \(f(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n+x^n\epsilon(x)\).
Posons \(f(0)=a_0\), alors :
\(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0}\left(\frac{f(x)-f(0)}{x}\right)=\lim_{x\rightarrow0}(a_1+a_2x+\cdots+a_nx^{n-1}+x^{n-1}\epsilon(x))=a_1}\).
La fonction \(f\), ainsi prolongée, est donc dérivable en 0, et de plus \(f'(0)=a_1\).
Exemple :
\(\displaystyle{f(x)=\frac{\textrm{sh }x-x}{\textrm{cos }x-1}}\).
On peut montrer que \(f\) admet développement limité à l'ordre \(n\) en 0, pour tout \(n\in\mathbb N\); en particulier pour \(n=2\) :
\(\displaystyle{f(x)=-\frac{1}{3} x+x^2\epsilon(x)}\). En posant \(f(0)=0\), on prolonge \(f\) en une fonction dérivable au point 0 (\(\displaystyle{f '(0)=-\frac{1}{3}}\)).
Cependant, de manière générale, l'existence, pour \(f\), d'un développement limité à un ordre \(n\ge2\) en 0, n'entraîne pas des propriétés de dérivabilité à des ordres \(k\ge2\). Regardons, par exemple, la fonction \(f\) définie par :
\(f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\displaystyle{x^3\textrm{sin }\left(\frac{1}{x}\right)}&\textrm{si }x\ne0\\0&\textrm{si }x=0\end{array}\right.\)
la fonction \(f\) possède un développement limité à l'ordre 2 en 0 :
\(f(x)=P(x)+x^2\epsilon(x)\) où \(P=0\) et \(\displaystyle{\epsilon(x)=x\textrm{ sin }\left(\frac{1}{x}\right)}\) ;
la fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb R\) :
\(f'(x)=\left\{\begin{array}{ll}\displaystyle{3x^2\textrm{ sin }\left(\frac{1}{x}\right)-x\textrm{ cos }\left(\frac{1}{x}\right)}&\textrm{si }x\ne0\\0&\textrm{si }x=0\end{array}\right.\)
Mais \(f\) n'est pas deux fois dérivable au point 0, car : \(\displaystyle{\frac{f'(x)-f'(0)}{x}=3x\textrm{ sin }\left(\frac{1}{x}\right)-\textrm{cos }\left(\frac{1}{x}\right)}\) n'a pas de limite lorsque \(x\) tend vers 0.