Lorsque de f est paire ou impaire ...
Le résultat suivant permet souvent de contrôler ses calculs et d'y déceler d'éventuelles erreurs.
Proposition : Proposition 2
Si \(f\) est une fonction paire (resp. impaire) qui possède un développement limité à l'ordre \(n\) en 0, alors la partie principale ne contient que des puissances paires (resp. impaires) de la variable \(x\).
Preuve :
En effet, soit \(f(x)=P(x)+x^n\epsilon(x)\) le développement limité de \(f\) à l'ordre \(n\) en 0 ; traitons le cas où \(f\) est paire. Posons \(\phi(x)=f(x)-f(- x)\) ; on a :
\(\phi(x)=P(x) -P(- x)+x^n\epsilon(x)-(-1)^nx^n\epsilon(-x)\)
soit en notant \(Q(x)=P(x)-P(-x)\) et \(\epsilon_1(x)=\epsilon(x)-(-1)^n\epsilon(-x)\)
\((*)\quad\phi(x)=Q(x)+x^n\epsilon_1(x)\), avec \(\textrm{deg }Q\le n\) et \(\lim_{x\rightarrow0}\epsilon_1(x)=0\) ;
\((*)\) est donc le développement limité de \(j\) à l'ordre \(n\) en 0 ; mais comme \(\phi=0\) on a aussi \(\phi(x)=0+x ^n\times0\) ; on actionne le théorème d'unicité : \(Q=0\) et donc le polynôme \(P\) est pair.
Exercice : adapter la démonstration au cas d'une fonction \(j\) impaire.