Lorsque de f est paire ou impaire ...

Le résultat suivant permet souvent de contrôler ses calculs et d'y déceler d'éventuelles erreurs.

PropositionProposition 2

Si est une fonction paire (resp. impaire) qui possède un développement limité à l'ordre n en 0, alors la partie principale ne contient que des puissances paires (resp. impaires) de la variable x.

Preuve

En effet, soit f(x)=P(x)+x^n\epsilon(x) le développement limité de f à l'ordre n en 0 ; traitons le cas où f est paire. Posons \phi(x)=f(x)-f(- x) ; on a :

\phi(x)=P(x) -P(- x)+x^n\epsilon(x)-(-1)^nx^n\epsilon(-x)

soit en notant Q(x)=P(x)-P(-x) et \epsilon_1(x)=\epsilon(x)-(-1)^n\epsilon(-x)

(*)\quad\phi(x)=Q(x)+x^n\epsilon_1(x), avec \textrm{deg }Q\le n et \lim_{x\rightarrow0}\epsilon_1(x)=0 ;

(*) est donc le développement limité de j à l'ordre n en 0 ; mais comme \phi=0 on a aussi \phi(x)=0+x ^n\times0 ; on actionne le théorème d'unicité : Q=0 et donc le polynôme P est pair.

Exercice : adapter la démonstration au cas d'une fonction j impaire.