Définitions et propriétés

En effet, soit $f(x)=P(x)+x^n\epsilon(x)$ le développement limité de $f$ à l'ordre $n$ en 0 ; traitons le cas où $f$ est paire. Posons $\phi(x)=f(x)-f(- x)$ ; on a :

$\phi(x)=P(x) -P(- x)+x^n\epsilon(x)-(-1)^nx^n\epsilon(-x)$

soit en notant $Q(x)=P(x)-P(-x)$ et $\epsilon_1(x)=\epsilon(x)-(-1)^n\epsilon(-x)$

$(*)\quad\phi(x)=Q(x)+x^n\epsilon_1(x)$, avec $\textrm{deg }Q\le n$ et $\lim_{x\rightarrow0}\epsilon_1(x)=0$ ;

$(*)$ est donc le développement limité de $j$ à l'ordre $n$ en 0 ; mais comme $\phi=0$ on a aussi $\phi(x)=0+x ^n\times0$ ; on actionne le théorème d'unicité : $Q=0$ et donc le polynôme $P$ est pair.