Opérations sur les développements limités

Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions qui admettent des développements limités à l'ordre \(n\) en 0 :

\(f(x)=P(x)+x^n\epsilon_1(x)\),

\(g(x)=Q(x)+x^n\epsilon_2(x)\)

avec \(Q(0)\ne0\), alors \(\displaystyle{\frac{f}{g}}\) admet un développement limité à l'ordre \(n\) en 0 :

\(\displaystyle{\frac{f(x)}{g(x)}=A(x)+x^n\epsilon_3(x)}\)

où \(A\) est le quotient de la division de \(P\) par \(Q\) suivant les puissances croissantes à l'ordre \(n\).

Attention à la condition \(Q (0) ¹ 0\) : beaucoup d'erreurs dans les développements limités proviennent de l'oubli de vérifier cette condition.

Rappel : dans la division de polynômes suivant les puissances croissantes à l'ordre n, le reste est divisible par \(x^{n + 1}\).