Opérations sur les développements limités

Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions qui admettent des développements limités à l'ordre \(n\) en 0 :

\(f(x)=\displaystyle{\sum^{k=n}_{k=0}}a_kx^k+x^n\epsilon_1(x)\), \(g(x)=Q(x)+x^n\epsilon_2(x)\) avec \(Q (0) = 0\),

alors \(f \circ g\) admet un développement limité à l'ordre \(n\) en 0 :

\(f(g(x))=\displaystyle{\sum^{k=n}_{k=0}}a_k[Q^k]_n(x)+x^n\epsilon_3(x)\)

où \([Q^k]n\) est composé des termes de degré inférieur ou égal à \(n\) du polynôme \(Q^k\).

Attention à la condition \(g (0) = 0\) ; si elle n'est pas vérifiée, on ne peut même pas, sans autre information, savoir si \(f \circ g\) admet des développements limités en 0 ...