Exercice n°1
Partie
Question
Existe-t-il une fonction \(F(x,y)\) définie sur \(\mathbb R^2\) tout entier et dont les lignes de niveau sont les droites passant par l'origine ? Pourquoi ?
Des lignes de niveau distinctes ne se rencontrent pas.
Solution détaillée
Deux lignes de niveau distinctes d'une même fonction \(F(x,y)\) n'ont bien sûr aucun point commun : sinon, en un tel point \((x_0,y_0)\), \(F(x_0,y_0)\) aurait deux valeurs distinctes.
Les droites passant par l'origine, ayant le point \((0,0)\) en commun, ne sont pas les lignes de niveau d'une fonction définie sur le plan \((x,y)\) tout entier.