Equation \((3y^2+6xy)y'+2x+3y^2=0\)
Elle est sous la forme \(J(x,y)y'+H(x,y)=0\).
On vérifie que \(\delta J/\delta x=\delta H/\delta y=6y\).
Il s'agit donc bien d'une équation différentielle exacte.
Cherchons une fonction \(F(x,y)\) telle que \(\delta F/\delta x=H(x,y)\) et \(\delta F/\delta y=J(x,y)\).
En intégrant \(J\) par rapport à \(y\), on trouve
\(F(x,y)=y^3+3xy^2+K(x)\)
\(K\) est une constante par rapport à \(y\), mais dépend de \(x\).
On dérive alors \(F\) par rapport à \(x\), et on identifie avec \(H(x,y)\).
\(3y^2+K'(x)=2x+3y^2\), d'où \(K'(x)=2x\) et \(K(x)=x^2+C\).
Les fonctions \(F(x,y)\) cherchées sont donc
\(F(x,y)=y^3+3xy^2+x^2+C\),
où \(C\) est une constante réelle.
Cette fonction \(F\) définit implicitement les solutions de l'équation différentielle.
Remarque : toutes les fonctions \(F\) trouvées, ne différant que par une constante, ont évidemment les mêmes lignes de niveau.