Exercice n°2
Partie
Question
Trouver une équation différentielle dont les graphes des solutions sont les lignes de niveau de la fonction
\(F(x,y)=(y-x)\textrm{exp}(-x)\)
(on doit trouver une équation linéaire très simple).
Solution détaillée
Lignes de niveau de la fonction \(F(x,y)=(y-x)\textrm{exp}(-x)\)
Si le graphe d'une fonction \(y(x)\) est inclus dans une ligne de niveau d'une fonction \(F(x,y)\), on a, pour tout \(x\),
\(F(x,y(x))=\textrm{Cte}\),
soit ici
\((y(x)-x)\textrm{exp}(-x)=\textrm{Cte}\)
En dérivant cette égalité, on trouve
\((y'-1-y+x)\textrm{exp}(-x)=0\)
Comme une exponentielle n'est jamais nulle, cela s'écrit aussi
\((y'-1-y+x=0)\),
soit finalement
\(y'=y-x+1\).
Vérification : Les solutions de cette dernière équation sont
\(y=C\textrm{exp}(x)+x\).
On a alors \((y-x)\textrm{exp}(-x)=C\), qui est bien une constante.