Travaux pratiques : étude des invariants de l'équation

Énoncé des propriétés étudiées

Pendant cette séance, nous allons nous intéresser à des équations différentielles de la forme \(y' = f(x, y)\), où la fonction f est définie en tout point \((x, y)\) du plan et possède, sur tout son domaine de définition, des dérivées partielles continues, de sorte que l'on pourra appliquer le théorème d'existence et unicité (Cauchy-Lipschitz).

Nous allons examiner quelques propriétés de la fonction \(f\) , les interpréter en termes de propriétés géométriques du champ de tangentes, et voir quelles conséquences l'on peut en tirer pour les solutions de l'équation différentielle.

Voici les propriétés de f que nous nous proposons d'examiner :

  • Tx : La fonction f ne dépend pas explicitement de x (équation autonome).

  • Ty : La fonction f ne dépend pas explicitement de y .

RemarqueParticularité de la propriété Ty

Si la fonction f ne dépend pas de y, l'équation s'écrit

\(y' = f(x)\).

Ses solutions sont les primitives de f.

On remarque que la recherche de primitives est un cas particulier de résolution d'équations différentielles.

Puisque f est supposée continue, les solutions sont définies sur . Si \(F(x)\) est l'une d'elles, les autres s'écrivent \(F(x) + C\).

  • Sx : \(\forall (x,y), f(x, y) = - f(- x, y)\).

  • Mx : \(\forall (x,y), f(x, y) = f(- x, y)\).

  • Sy : \(\forall (x,y), f(x, y) = - f(x, - y)\).

  • My : \(\forall (x,y), f(x, y) = f( x,- y)\).

  • Sxy : \(\forall (x,y), f(x, y) = - f(- x,- y)\).

  • Mxy : \(\forall (x,y), f(x, y) = f(- x, -y)\).

  • Px : La fonction f est périodique en x : \( \exists T\in\mathbb R, T \ne 0, \forall (x,y), f(x + T,y) = f(x, y)\).

  • Py : La fonction f est périodique en y : \( \exists T\in\mathbb R, T \ne 0, \forall (x,y), f(x ,y + T) = f(x, y)\).

Exemple

Pour chacune des équations suivantes, dire lesquelles des propriétés ci-dessus elles vérifient.

  • \(y' = y^2 - 1\)

  • \(y' = y\)

  • \(y' = xy\)

  • \(y' = - 2 + cos (x)\)

  • \(y' = x + y\)

  • \(y' = sin (y)\)

  • \(y' = x^2 + x + 1\)

  • \(y' = y^2 - x\)

  • \(y' = x(y^2 - 1)\)

  • \(y' = x^2 + x + y^2 + y\)

  • \(y' = sin (xy)\)

  • \(y' = x^2 + y\)

Expérimentations

Un point essentiel pour étudier les conséquences d'une propriété de la fonction \(f(x, y)\) sur les solutions de l'équation \(y' = f(x, y)\) est de savoir si l'image du graphe d'une solution par une transformation géométrique simple est encore une solution.

L'animation ci-après vous permet de l'expérimenter.

Équation différentielle : transformations géométriques

Explication

Lorsque vous choisissez une équation, on vous indique lesquelles des propriétés étudiées elle vérifie.Vous voyez aussi apparaître son champ de tangentes.

Si vous cliquez sur un point de la figure, vous verrez en vert le graphe de la solution unique passant par ce point.

Vous pouvez alors transformer ce graphe par quelques transformations géométriques :

En cliquant sur le bouton "haut", vous verrez en bleu le transformé de ce graphe par une translation verticale dirigée vers le haut. Les autres boutons ont un effet analogue, correspondant à d'autres transformations.

Il faut alors se demander si la courbe obtenue est encore le graphe d'une solution, c'est-à-dire si elle est tangente au champ en chacun de ses points.

Si, pour chaque équation proposée vérifiant une propriété donnée, vous constatez une telle invariance par une de ces transformations, il reste à démontrer que c'est bien le cas pour toutes les équations vérifiant cette propriété.

Pour montrer qu'une propriété P implique l'invariance de l'ensemble des solutions par une transformation S, on commence par expliciter la fonction \(v(x)\) dont le graphe est le transformé par S de celui d'une solution \(u(x)\) de l'équation \(y' = f(x, y)\). On montre ensuite, en utilisant la propriété P de \(f\), que \(v(x)\) est aussi solution de cette équation.

Ces démonstrations sont accessibles depuis la page de résultats ; exercez-vous d'abord à en faire quelques-unes par vous-même.

Résultats

Certaines des propriétés de l'équation énumérées plus haut (pas toutes) se traduisent par une propriété géométrique simple du champ de tangentes. Celles-ci impliquent à leur tour des propriétés d'invariance de l'ensemble des solutions (et plus rarement des solutions elles-mêmes).

PropriétéMx, My et Sxy

Ces propriétés n'impliquent pas de propriété géométrique simple du champ

PropriétéTx

L'équation ne dépend pas de x

L'équation s'écrit \(y' = g(y)\) ; elle est autonome ; le champ est invariant par translations horizontales.

Si \(u(x)\) est une solution de l'équation \(y' = g(y)\) définie sur un intervalle \(I\), alors les fonctions \(v_C (x) = u(x + C)\) (C constante réelle quelconque) définies sur\( I + C = \{x : x - C ∈ I\}\) sont solutions de l'équation.

PropriétéTy

L'équation ne dépend pas de y

L'équation s'écrit\( y' = g(x)\) ; c'est un calcul de primitive ; le champ est invariant par translations verticales.

Si \(u(x)\) est une solution (c'est-à-dire une primitive de \(g(x)\)), \(u(x) + C\) en est une autre.

PropriétéSx

\(\forall (x,y), f(x, y) = - f(- x, y)\)

Le champ de tangentes est symétrique par rapport à l'axe des\( y\). Il est horizontal sur l'axe des\( y\).

Si \(u(x)\) est une solution définie sur un intervalle\( I\), la fonction\( v(x) = u(- x)\), définie sur l'intervalle \(- I =\{x : - x ∈ I\}\) est aussi une solution .

Les graphes de \(u\) et de \(v\) sont symétriques l'un de l'autre par rapport à l'axe des \(y\).

Si\( 0 ∈ I\), on a \(u = v\), puisque\( u(0) = v(0)\), en vertu de l'unicité de la solution passant par un point. L'intervalle\( I\) est symétrique par rapport à l'origine.

Les solutions définies en \(0\) sont donc paires. Mais il peut exister aussi des solutions définies sur un intervalle ne contenant pas \(0\). Le symétrique du graphe d'une telle solution est alors le graphe d'une autre solution.

L'animation ci-dessous montre les solutions de \(y' = (y + 1) sin (2x) + x\). Ici, puisqu'il s'agit d'une équation linéaire, les solutions sont définies sur tout entier, et sont donc paires.

Solutions de l'équation différentielle y'=(y+1)sin(2x)+x

Sur la symétrie des solutions dans le cas Sx

On sait que le champ est symétrique par rapport à l'axe des \(y\) ; si \(u\) est une solution, le graphe de \(u\) est tangent en chacun de ses points au champ, et celui de \(v\), qui en est le symétrique, l'est aussi. La fonction \(v\) est donc aussi une solution.

Retrouvons ce résultat par le calcul.

\(\begin{eqnarray}\lefteqn{ v' (x) = -u'(x) }\nonumber\\& & {}=- f(- x, u(- x))\nonumber\\& & {}= f(x, u(- x)) \nonumber\\& & {}= f(x, v(x))\nonumber\end{eqnarray}\)

la fonction \(v\) est donc solution de \(y' = f(x, y)\).

PropriétéSy

\(\forall (x,y), f(x, y) = - f(x, - y)\)

Le champ de tangentes est symétrique par rapport à l'axe des \(x\). Il est nul sur l'axe des \(x\), la fonction constante \(y = 0\) est donc une solution ; en vertu de l'unicité, les autres solutions gardent un signe constant.

Si \(u(x)\) est une solution définie sur un intervalle \(I\), la fonction\( v(x) = - u(x)\), définie elle aussi sur l'intervalle \(I\), est une autre solution .

Les graphes de \(u\) et de \(v\) sont symétriques l'un de l'autre par rapport à l'axe des \(x\).

Sur la symétrie des solutions dans le cas Sy

C'est évident géométriquement...

Retrouvons le par le calcul :

\(\begin{eqnarray}\lefteqn{ v' (x) = -u'(x) }\nonumber\\& & {}=- f(x, u(x))\nonumber\\& & {}= -f(x, -v( x)) \nonumber\\& & {}= f(x, v(x))\nonumber\end{eqnarray}\)

la fonction v est donc solution de y' = f(x, y).

PropriétéMxy

\(\forall (x,y), f(x, y) = f(- x, - y)\)

Le champ de tangentes est symétrique par rapport à l'origine.

Si u(x) est une solution définie sur un intervalle \(I\), la fonction\( v(x) = - u(- x)\), définie sur l'intervalle \(- I = \{x ; - x ∈ I\}\) est aussi une solution .

Les graphes de \(u\) et de \(v\) sont symétriques l'un de l'autre par rapport à l'origine.

La solution u vérifiant \(u(0) = 0\) est impaire.

L'animation ci-dessous montre les solutions de\( y' = (x + y)^2 - 4\). On devine qu'il y a deux solutions dont les graphes sont des droites : trouvez les.

Équation différentielle : symétrie par raport à l'origine

Sur la symétrie des solutions dans le cas Mxy

On sait que le champ est symétrique par rapport à l'origine ; si \(u\) est une solution, le graphe de \(u\) est tangent en chacun de ses points au champ, et celui de \(v\), qui en est le symétrique, l'est aussi. \(v\) est donc aussi une solution.

Retrouvons ce résultat par le calcul :

\(\begin{eqnarray}\lefteqn{ v' (x) = u'(-x) }\nonumber\\& & {}=f(-x, u(-x))\nonumber\\& & {}= f(x, -u( -x)) \nonumber\\& & {}= f(x, v(x))\nonumber\end{eqnarray}\)

la fonction \(v\) est donc solution de \(y' = f(x, y)\).

PropriétéPx

\(\forall (x,y), f(x + T, y) = f(x, y)\)

Le champ de tangentes est invariant par la translation horizontale d'amplitude \(T\). Cela n'entraîne pas que les solutions soient périodiques. Les solutions ne sont d'ailleurs pas nécessairement définies sur tout entier.

Si u est une solution définie sur \(I\), la fonction \(v(x) = u(x + T)\) définie sur\( I - T = \{x ; x + T ∈ I\}\), dont le graphe est le translaté horizontal de celui de \(u(x)\), est encore une solution, généralement différente de \(u\) . Ce n'est que si il existe\( x_0\) tel que \(u(x_0 + T) = u(x_0)\) qu'on a \(u = v\) . Cette solution est alors définie sur entier, et périodique.

L'animation ci-dessous montre les solutions de\( y' = y(2 cos (x) + 1) + 1/2\). On devine qu'il existe une solution périodique et une seule. N'essayez pas de trouver son équation.

Solutions de l'équation y'=y(2cos(x)+1)+1/2

Sur la translation des solutions dans le cas Px

  1. Soit \(v (x) = u(x + T)\) Montrons que \(v\) est aussi une solution.

    \(\begin{eqnarray}\lefteqn{ v' (x) = u'(x + T) }\nonumber\\& & {}=f(x+T, u(x+T))\nonumber\\& & {}= f(x, u( x+T)) \nonumber\\& & {}= f(x, v(x))\nonumber\end{eqnarray}\)

    La fonction \(v\) est donc solution de \(y' = f(x, y)\).

  2. Soit \(v(x) = u(x + T)\). On sait que \(v\) est aussi une solution.

    Montrons d'abord que, si pour un certain \(x_0\),\( u(x_0 + T) = u(x_0)\), alors \(u = v\),

    c'est à dire que pour tout \(x\), \(v(x) = u(x)\).

    On a \(v(x_0) = u(x_0 + T) = u(x_0)\).

    D'après la propriété d'unicité, les solutions \(u\) et \(v\), prenant la même valeur en \(x_0\), sont égales.

    Montrons que\( u(x)\) est définie sur \(\mathbb R\) tout entier.

    \(u(x)\) étant définie en \(x_0\) et en \(x0 + T\), son intervalle de définition \(I\)

    contient\( [x_0, x_0 + T]\), donc celui du v contient [x_0 - T, x_0].

    Comme \(u = v\), \(I\) contient \([x_0 - T, x_0 + T]\) ; de proche en proche, on montre ainsi que \(I = \mathbb R\).

    Montrons enfin que \(u\) est périodique.

    Puisque \(v = u\), d'après la définition de la fonction \(v\), on a, pour tout \(x\),

    \(u(x + T) = v(x) = u(x)\).

PropriétéPy

Le champ de tangentes est invariant par la translation verticale d'amplitude \(T\).

Si \(u\) est une solution définie sur \(I\), la fonction \(v(x) = u(x) + T\) définie sur le même \(I\), dont le graphe est le translaté vertical de celui de \(u(x)\), est une autre solution.