Travaux pratiques : étude de l'équation y'=2y + 1/x
Étude de cette équation
Il s'agit d'une équation linéaire à coefficient constant, avec second membre (c'est-à-dire de la forme \(y'= ay + b(x)\) ).
Elle est définie si \(x\) est non nul. Étudions-la dans le demi-plan \(x>0\).
Écrire l'équation homogène associée (on dit parfois l'équation sans second membre associée), et donner sa solution générale.
Soit \(A(x)\) une primitive de \(\frac{e^{- 2x}}x\). Sans chercher à calculer la fonction \(A(x)\), montrer que la solution générale de l'équation \((1)\) s'écrit
\(y(x) = (A(x) + K)e^{2x}\)
Trouver l'équation de l'isocline horizontale, c'est-à-dire l'ensemble des points \((x, y)\) tels que \(y'\) s'annule.
L'animation ci-dessous montre le champ de directions : on a tracé, pour de nombreux points \((x, y)\), un petit segment centré en \((x, y)\) et de pente \(2y + 1/x\), donc tangent à la solution passant par \((x, y)\)
dans l'animation ci-dessous, on a tracé le graphe de quelques solutions. vous pouvez cliquer sur un point de la figure pour voir la solution passant par ce point.
Remarque :
Observons et étudions ces solutions. Apparemment, pour \(x\) assez grand, certaines solutions sont fortement croissantes, les autres fortement décroissantes. Il est naturel de se poser la question : les solutions tendent-elles toujours vers \(± ∞\) quand \(x\) tend vers l'infini ?
On est amené à étudier les primitives de \(\frac{e^{-2x}}x\), sans les calculer explicitement.
Exemple :
Montrer que pour tout \(x > 0\), \(\int_{x}^{\infty}\frac{e^{-2t}}t dt\qquad\) dt est une intégrale convergente.
Exemple :
On pose \(A_0(x) = \int_{x}^{\infty}\frac{e^{-2t}}t dt\qquad\). Montrer que \(A_0(x)\) est une primitive de\( \frac{e^{-2t}}t\). Montrer que \(A_0(x)\) tend vers \(0\) quand \(x\) tend vers\( + ∞\).
La solution générale de \((1)\) s'écrit donc\( y(x) = (A_0(x) + K)e^{2x}\)
Exemple :
Montrer que,
Si \(K < 0\), alors \(y(x)\) tend vers \(- ∞\) quand \(x\) tend vers\( + ∞\).
Si \(K > 0\), alors \(y(x)\) tend vers \(+ ∞\) quand \(x\) tend vers \(+ ∞\).
Si \(K = 0\), on peut montrer que \(y(x)\) tend vers \(0\) quand \(x\) tend vers \(+ ∞\).
Appelons \(y_0(x) = A_0(x)e^{2x}\) cette dernière solution.
Cette solution exceptionnelle \(y_0\) sépare les deux autres types de comportement à l'infini.
Solution exceptionnelle de cette équation
La figure ci-dessous représente le plan réel pour 0 < x < 12 et - 2 < y < 1. La droite x = 1 est tracée en bleu clair.
Explication :
Ecrivez une valeur numérique \(y_1\) dans le champ de saisie ci-dessous : quand vous appuyez sur la touche d'entrée, le programme trace le graphe de la solution \(y\) de \((1)\) telle que \(y(1) = y_1\). De plus les valeurs \(y(5)\) et \(y(10)\) sont affichées en bas de la figure.
Cherchez à approcher numériquement la valeur \(y_1\) qu'il faut rentrer pour obtenir la solution exceptionnelle qui tend vers \(0\) à l'infini.
Conseil :
On peut remarquer que si l'on choisit\( y_1 > 0\), la solution reste pour tout\( x > 1\) dans une région où \(y' > 0\), et donc elle continue à croître, et ne peut tendre vers \(0\) (on a même vu qu'elle tend alors vers l'infini).
De même, si on choisit \(y_1 < - 1/2\), y' est négatif, et donc le graphe de la solution reste en dessous de celui de la fonction\( y = -\frac{1}{2 x}\), qui, elle, est croissante ; le graphe reste donc dans la zone où \(y'\) est négatif, la solution continue à décroître et ne peut tendre vers 0.
On doit donc choisir \(y_1\) entre\( -\frac{1}2\) et \(0\).
Si la solution sort, pour un \(x > 1\), de la zone Z comprise entre\( y = - \frac{1}{2x}\) et\( y = 0\) (ces 2 courbes se tracent en bleu foncé sur la figure), on voit de même qu'elle ne peut pas tendre vers \(0\) à l'infini : \(y_1\) est donc, soit trop grand (la solution sort de la zone par au-dessus), soit trop petit (la solution sort de la zone par en-dessous).
Il faut donc ajuster \(y_1\), de plus en plus précisément, pour que la portion de trajectoire tracée sur la figure reste entre les courbes bleues.
On se rend compte à quel point le comportement des solutions est sensible aux variations de la condition initiale : il faut ajuster jusqu'à la onzième décimale de \(y(1)\) pour obtenir une solution qui soit encore dans la zone Z pour\( x = 12\) ; c'est ce qu'on nomme le phénomène de sensibilité aux conditions initiales