Travaux pratiques : étude de l'équation y'=x(y²-1)
Etude de l'équation
On va voir, sur l'étude de l'équation \((1)\) \(y'=x(y^2-1)\)
que l'étude qualitative et la résolution explicite apportent chacune des informations sur les solutions. Ces points de vue ne s'opposent pas, mais au contraire se complètent.
On note \(h(x, y) = x(y^2 - 1)\).
Exemple :
L'équation \(y' = h(x, y)\) est à variables séparables : pourquoi ?
Une équation à variables séparables est une équation qui s'écrit :
\(y' = f(x) g(y)\).
Pour l'équation \(y' = x(y^2 - 1)\), il suffit de poser
\(f(x) = x\) et \(g(y) = y^2 - 1\).
Exemple :
Vérifier que le théorème de Cauchy-Lipschitz s'applique à cette équation sur le plan tout entier.
Rappel : Théorème (de Cauchy - Lipschitz)
Si la fonction \(h(x, y)\) admet des dérivées partielles (par rapport à \(x\) et \(y\)) qui sont continues, et si l'on se fixe des réels \(x_0\) et \(y_0\), il existe une solution\( u(x)\) et une seule de l'équation \(y' = h(x, y)\), définie sur un intervalle \(I\) contenant \(x_0\), qui vérifie \(u(x_0) = y_0\).
Ici, les dérivées partielles sont \(\frac{\partial h}{\partial x} = y^2 - 1\) et \(\frac{\partial h}{\partial y} = 2 xy\), qui sont des fonctions continues sur le plan \((x, y)\) tout entier.
Exemple :
Calculer \(h(- x, y)\), \(h(x, - y)\) et \(h(- x, - y)\) en fonction de \(h(x, y)\). Quelle(s) symétrie(s) du champ peut-on en déduire ? Quelles propriétés des trajectoires en découlent?
On trouve aisément
\(h(x, - y) = h(x, y)\) ;
\(h(- x, y) = - h(x, y)\) ;
\(h(- x, - y) = - h(x, y)\).
Seule la seconde égalité induit une symétrie du champ de directions (faites des dessins) : ce champ est symétrique par rapport à l'axe des \(y\).
On en déduit que, si \(u(x)\) est une solution définie sur un intervalle \(I\), la fonction \(v(x) = u(- x)\), définie sur l'intervalle
\(- I = \{x ; - x ∈ I\}\) est aussi une solution.
Les graphes de \(u\) et de \(v\) sont symétriques par rapport à l'axe des \(y\).
Si\( 0 ∈ I\), on a \(u = v\), puisque \(u(0) = v(0)\), en vertu de l'unicité de la solution passant par un point.
Les solutions définies en \(0\) sont donc paires. Mais il existe aussi des solutions définies sur un intervalle ne contenant pas \(0\).
Exemple :
Déterminer les solutions constantes.
Si \(u(x) = C\) est une solution constante, on a
\(u'(x) = 0\) pour tout \(x\).
On en déduit que \(C^2 - 1 = 0\).
Les solutions constantes sont donc \(u_1 (x) = 1\) et \(u_2 (x) = - 1\). Leurs graphes sont des horizontales.
Le graphe d'une autre solution, ne pouvant croiser ces horizontales (l'unicité, toujours), est entièrement contenu dans l'une des trois régions délimitées par ces droites .
Exemple :
Déterminer l'isocline de pente \(0\), puis les régions où la pente du champ est positive et celles où elle est négative.
L'isocline de pente \(0\) est constituée des points\( (x, y)\) vérifiant\( h(x, y) = 0\).
Elle est donc la réunion de l'axe des y et des deux horizontales \(y = 1\) et \(y = - 1\).
L'animation ci-dessous montre le signe de \(h(x, y)\) dans les six régions du plan qu'elle délimite.
Une solution \(u(x)\) est croissante tant que son graphe reste dans une région où \(h(x, y) > 0\), est décroissante lorsque son graphe est dans une région où \(h(x, y) < 0\).
Exemple :
Avec les informations dont vous disposez, essayez de dessiner l'allure des solutions, par exemple dans le domaine \([- 3, 3] \times [- 3, 3]\). Remarquez qu'à ce stade, la nature des branches infinies reste difficile à déterminer
Exemple :
Calculer une équation explicite pour les solutions non constantes.
Les solutions non constantes vérifient \(y^2 ≠ 1\).
Elles sont déterminées par \(F(y) = G(x)\),
où \(F(y)\) est une primitive de\( 1/(y^2 - 1)\), et \(G(x)\) est une primitive de \(x\).
On obtient\( \frac{1}2 ln\bigg\vert\frac{y - 1}{y + 1} \bigg\vert= \frac{1}2 x^2 + C\), ce qui mène à \(\frac{y - 1}{y + 1} = K e^{x^2}\),
soit finalement \(y = \frac{1 + K e^{x^2}}{1 - K e^{x^2}}\).
Etude des solutions
L'équation générale des solutions de l'équation \((1)\) \(y'=x(y^2-1) \) est \(y = \frac{1 + K e^{x^2}}{1 - K e^{x^2}}\).
Remarquez que, pour\( K = 0\), on retrouve la solution constante \(y = 1\) ; en revanche, la solution \(y = - 1\) n'est obtenue pour aucune valeur de \(K\)
Exemple :
Les valeurs \(x_0\) et \(y_0\) étant données, calculer la valeur de K qui correspond à la solution u telle que \(u(x_0) = y_0\)
Pour certaines valeurs de K, le domaine de définition de la fonction \(v_K(x) = \frac{1 + K e^{x^2}}{1 - K e^{x^2}}\) est constitué de plusieurs intervalles. Comme une solution d'une équation différentielle est forcément définie sur un intervalle, une telle fonction fournit plusieurs solutions : autant qu'il y a d'intervalles dans le domaine de définition de \(v_K\).
Exemple :
Déterminer, en fonction de \(K\), le nombre de solutions fournies par la fonction \(v_K\) et le domaine de définition de chacune de ces solutions.
Si \(K < 0\), la fonction \(v_K\) est définie pour tout \(x\) ; il lui correspond une seule solution
Si \(K > 1\), la fonction \(v_K\) est définie pour tout \(x\) ; il lui correspond une seule solution
Si \(0 < K < 1\), la fonction \(v_K\) n'est pas définie en \(a = (ln(\frac{1}K))^{1/2}\) ni en \(- a\) ; il lui correspond trois solutions : l'une définie pour \(x < - a\), la seconde, définie si \(- a < x < a\), la troisième définie pour \(x > a\).
Si \(K = 1\), \(v_K\) est définie pour\( x \ne 0\) ; il lui correspond deux solutions, l'une définie pour\( x < 0\) et décroissante, l'autre définie pour\( x > 0\) est croissante.
Si \( K = 0\), on retrouve la solution constante \(y = 1\) ; en revanche, la solution \(y = - 1\) n'est obtenue pour aucune valeur de \(K\).
Exemple :
Dresser le tableau de variation de chaque type de solution ; on pourra remarquer que, si \(u(x)\) est une solution, \(u^2 - 1\) garde un signe constant sur tout le domaine de définition. Le signe de \(u'\) se lit alors facilement sur l'équation\( (1)\). Il est donc inutile de calculer la dérivée de \(v_K\). Déterminer chaque fois le nombre et les directions des asymptotes de la solution.
Exemple :
Sur un même dessin, tracer les différents types de solutions. Comparer avec ce qu'on obtient en cliquant sur le dessin ci-dessous.
Exemple :
Tracer les solutions \(u_1\) et \(u_2\) correspondant à \(K = 1\). Les graphes de \(u_1\), de \(u_2\) et des deux solutions constantes délimitent cinq régions du plan. Montrer que si le graphe d'une solution a un point dans une de ces régions, il est entièrement contenu dans cette région.
Exemple :
En se servant de ce régionement, donner des conditions sur \((x_0 , y_0)\) pour que la solution u telle que \(u(x_0) = y_0\) soit de chacun des types déterminés précédemment. Vérifiez ces résultats en cliquant sur la figure ci-dessous.