Introduction
La réunion de deux sous-espaces n'est pas en général un sous-espace, sauf cas très particulier. L'opération d'addition permet de définir la somme de deux sous-espaces ; cette somme s'avère être en fait le plus petit sous-espace contenant leur réunion. La propriété d'unicité de l'écriture d'un vecteur comme somme de vecteurs appartenant à deux sous-espaces donnés conduit à la notion de somme directe et de sous-espaces supplémentaires.
Ce que vous devez savoir avant d'aborder cette ressource :
Indispensable :Définition d'un sous-espace vectoriel.
Utile : La théorie des ensembles et en particulier les opérations d'intersection et de réunion de sous-ensembles.
Ce que vous allez apprendre, améliorer ou tester dans cette ressource :
Construire un sous-espace vectoriel en faisant la somme de deux ou plusieurs sous-espaces vectoriels.
Définir et caractériser les sommes pour lesquelles l'écriture d'un vecteur comme somme de vecteurs appartenant aux différents sous-espaces est unique.
Décomposer un espace vectoriel en somme de sous-espaces supplémentaires.
Ce que vous devez savoir faire à la fin de la ressource :
Ne pas confondre la somme et la réunion de sous-espaces.
Reconnaître si la somme de sous-espaces est directe.
Connaître la définition de sous-espaces supplémentaires .
Ce qui vous est proposé :
Les définitions de la somme, de la somme directe et d'un supplémentaire avec leurs propriétés caractéristiques ; le tout étant illustré par des exemples et des représentations dans R3.
Temps prévu : 60 mn
Il vous est conseillé de prendre des notes manuscrites pour bien assimiler l'ensemble des définitions et exemples.