Structure de la réunion
Définition : Structure de la réunion de deux sous-espaces
Soient \(E\) un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel, \(F\) et \(G\) deux sous-espaces vectoriels de \(E\). La réunion \(F \cup G\) des sous-espaces vectoriels \(F\) et \(G\), n'est un sous-espace vectoriel de \(E\) que dans les cas triviaux
\(F \cup G = F\) ou \(F \cup G = G\)
c'est-à-dire \(F \cup G\) est un sous-espace vectoriel de \(E\) si et seulement \(F\) est contenu dans \(G\) ou \(G\) est contenu dans \(F\).
Preuve :
Si \(F\) est contenu dans \(G\), \(F \cup G = G\) est bien un sous-espace vectoriel de \(E\).
De même si \(G\) est contenu dans \(F\).
Méthode : Réciproquement
Si \((P)\) désigne la propriété " \(F \cup G = G\) est un sous-espace vectoriel de \(E\)",
si \((Q)\) désigne la propriété "\(F\) est contenu dans \(G\)"
et \((R)\) désigne la propriété "\(G\) est contenu dans \(F\)",
le schéma logique de l'énoncé est: "\((P)\) implique \((Q)\) ou \((R)\)".
Il est équivalent de démontrer que "non\((Q)\) et non\((R)\) impliquent non\((P)\)" :
c'est un raisonnement par contraposée.
Soit \(F\) et \(G\) tels que \(F\) ne soit pas contenu dans \(G\), et \(G\) ne soit pas contenu dans \(F\).
Puisque \(F\) n'est pas contenu dans \(G\), il existe un élément de \(F\), noté \(a\), qui n'appartient pas à \(G\). Comme \(F\) est contenu dans \(F \cup G\) , \(a\) appartient aussi à \(F \cup G\).
Et de même, puisque \(G\) n'est pas contenu dans \(F\), il existe un élément de \(G\), noté \(b\), qui n'appartient pas à \(F\). Comme \(G\) est contenu dans \(F \cup G\), \(b\) appartient aussi à \(F \cup G\).
Alors l'élément \(a+b\) n'appartient ni à \(F\) ni à \(G\) :
en effet s'il appartenait à \(F\), l'élément \(b = (a + b) - a\) serait dans \(F\) puisque \(F\) est un sous-espace vectoriel, ce qui est en contradiction avec le choix de \(b\); de même \(a + b\) ne peut pas appartenir à \(G\), sinon \(a = (a + b) - b\) appartiendrait à \(G\).
Donc puisque \(F \cup G\) n'est pas stable pour l'addition, \(F \cup G\) n'est pas un sous-espace vectoriel de \(E\).