Définition
Théorème : Théorème et définition d'un sous-espace vectoriel
Soit \(E\) un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel, et soit \(F\) une partie de \(E\) telle que :
\(F\) est non vide
\(F\) est stable pour l'addition : \(\forall u \in F, \forall v \in F, u + v \in F\)
\(F\) est stable pour la multiplication par un scalaire : \(\forall \lambda \in \mathbf K, \forall u \in F, \lambda u \in F\)
Alors la partie \(F\), munie de ces deux lois, a une structure de \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel : \(F\) est appelée sous-espace vectoriel de \(E\).
Preuve :
La stabilité de \(F\) pour les deux lois permet de munir cet ensemble d'une loi de composition interne et d'une loi de composition externe à opérateurs dans \(K\), en restreignant à \(F\) les opérations définies dans \(E\).
Les propriétés de commutativité et d'associativité de l'addition, ainsi que les quatre axiomes relatifs à la loi externe sont vérifiés, car ils sont satisfaits dans \(E\) donc en particulier dans \(F\), qui est inclus dans \(E\).
Il reste à montrer l'existence d'un élément neutre, et d'un symétrique pour tout élément de \(F\) :
L'espace vectoriel \(E\) possède un élément neutre \(0_E\).
Cet élément appartient à \(F\) car pour \(u\) élément de \(F\) (l'hypothèse \(F\) non vide est ici essentielle) \(0u\) appartient à \(F\) (stabilité de \(F\) pour la loi externe), or \(0u = 0_E\) , donc \(0_E\) appartient à \(F\).
De plus \(F\) étant inclus dans \(E\), cet élément est tel que : \(\forall u \in F, u + 0_E = 0_E + u = u\).
L'élément neutre de l'addition dans \(F\) est donc \(0_E\).
De même \(F\) étant inclus dans \(E\), pour tout élément \(u\) de \(F\), il existe un élément de \(E\), noté \(-u\), tel que \(u + (-u) = 0_E\) ; il faut donc montrer que \(-u\) appartient à \(F\).
u étant élément de \(F\), \((-1)u\) appartient à \(F\), d'après la stabilité de \(F\) pour la loi externe.
Or \((-1) u = -u\).
Donc le symétrique de \(u\) dans \(F\) est égal au symétrique de \(u\) dans \(E\).
Pour les étudiants connaissant la notion de groupe, on peut noter ici que \((F, +)\) est un sous groupe de \((E, +)\)
Remarque :
La démonstration précédente fait ressortir les deux points suivants :
\(0_E = 0_F\)
Le symétrique de \(u\) calculé dans \(E\) est le même que le symétrique de \(u\) calculé dans \(F\).
{\({0_E}\)} et \(E\) sont des sous-espaces vectoriels de \(E\).
Un sous-espace vectoriel de \(E\) contient nécessairement \(0_E\). Ceci donne une méthode simple pour prouver qu'un sous-ensemble n'est pas un sous-espace vectoriel : si \(0_E\) n'appartient pas à \(F\) alors \(F\) n'est pas un sous-espace vectoriel de \(E\).