Méthodologie et exemples

MéthodeMéthodologie

  1. Pour répondre à une question du type " le sous-ensemble de l'espace vectoriel E est-il un sous-espace vectoriel de E? ", il est judicieux de vérifier que 0_E appartient à F :

    • Si 0_E appartient à F, cela prouve que F est non vide et on peut poursuivre en étudiant la stabilité de F pour les lois de E.

    • Sinon on peut alors affirmer que F n'est pas un sous-espace vectoriel de E.

  2. Pour montrer qu'un ensemble F est un espace vectoriel sur \mathbf K, on peut chercher un espace vectoriel E qui contient F, puis prouver que F est un sous-espace vectoriel de E.

ExempleExemples immédiats

  • L'ensemble F défini par F = \{ (x,y) \in \mathbb R^2 / x= 0 \} est un sous-espace vectoriel de \mathbb R^2.

  • L'ensemble F défini par F = \{ (x,y) \in \mathbb R^2 / y= 2 \} n'est pas un sous-espace vectoriel de \mathbb R^2

  • L'ensemble des fonctions continues sur \mathbb R est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des applications de \mathbb R dans \mathbb R.

  • L'ensemble des suites réelles convergentes est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des suites réelles.