Caractérisation
Théorème : Caractérisation d'un sous-espace par la notion de combinaison linéaire
Soit \(E\) un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel et \(F\) une partie de \(E\).
\(F\) est un sous-espace vectoriel de \(E\) si et seulement si :
\(F\) est non vide
Toute combinaison linéaire de deux éléments de \(F\) appartient à \(F\) :
\(\forall (u,v) \in F^2 , \forall(\alpha, \beta) \in K^2, \alpha u + \beta v \in F\)
Preuve : Preuve du théorème
Il suffit de démontrer que la deuxième propriété est équivalente à la stabilité de \(F\) pour les deux lois.
Il est clair que si \(F\) est stable pour l'addition et la multiplication par un scalaire alors toute combinaison linéaire de deux vecteurs de \(F\) est dans \(F\).
Pour établir la réciproque il suffit de choisir convenablement les coefficients \(\alpha\) et \(\beta\) :
\(\alpha = \beta = 1\) donne la stabilité de \(F\) pour l'addition.
\(\alpha\) quelconque, élément de \(\mathbf K\), et \(\beta = 0\) donne la stabilité de \(F\) pour la loi externe.
Corollaire :
Une partie non vide \(F\) d'un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel \(E\) est sous-espace vectoriel de \(E\) si et seulement si elle est stable par combinaison linéaire.
C'est-à-dire : toute combinaison linéaire d'éléments de \(F\) appartient à \(F\); ce qui s'écrit avec les quantificateurs :
\(\forall n \in \mathbb N^*, \forall(u_1, u_2, ... , u_n) \in F^n, \forall(\alpha_1, \alpha_2, ... , \alpha_n) \in \mathbf K^n,\alpha_1u_1 + \alpha_2 u_2 + ... + \alpha_n u_n \in F\)
Preuve : Preuve du corollaire
Il est clair que si une partie non vide \(F\) d'un espace vectoriel vérifie la propriété ci-dessus, alors c'est un sous-espace vectoriel de \(E\) (pour\( n = 2\) on a la stabilité par combinaison linéaire de deux vecteurs).
Il reste à établir la réciproque par un raisonnement par récurrence sur l'entier \(n\).
Soit \(P_n\) la propriété " Toute combinaison linéaire de \(n\) vecteurs de \(F\) appartient à \(F\) " c'est-à-dire, avec les quantificateurs :
" \(\forall(u_1, u_2, ... , u_n) \in F^n, \forall(\alpha_1, \alpha_2, ... , \alpha_n) \in \mathbf K^n, \alpha_1u_1, \alpha_2u_2 +... + \alpha_n u_n \in F\) "
D'après le théorème précédent, si \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(E\), alors la propriété est vraie pour \(n =1\) et \(n = 2\).
On suppose la propriété vraie au rang \(n\), et on démontre qu'elle est vraie au rang \(n + 1\).
Soit \(u_1, u_2, ..., u_n, u_{n+1}, n+1\) vecteurs de \(F\) et \(\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n, \lambda_{n+1}, n+1\) scalaires.
On considère la combinaison linéaire \(\lambda_1u_1 + \lambda_2u_2 + ... + \lambda_n u_n + \lambda_{n+1}u_{n+1}\).
\(\lambda_1u_1 + \lambda_2u_2 + ... + \lambda_n u_n + \lambda_{n+1}u_{n+1} = ( \lambda_1u_1 + \lambda_2 u_2 + ... + \lambda_n u_n) + \lambda_{n+1}U_{n+1}\)
D'après l'hypothèse de récurrence, le vecteur \(v = \lambda_1u_1 + \lambda_2u_2 + ... + \lambda_n u_n\) appartient à \(F\) (c'est une combinaison linéaire de \(n\) vecteurs de \(F\)).
Les vecteurs \(v\) et \(u_{n+1}\) sont éléments de \(F\), donc, \(F\) étant un sous espace vectoriel de \(E\), \(v + \lambda_{n+1}U_{n+1}\) appartient à \(F\) (c'est une combinaison linéaire de deux éléments de \(F\)).
On a donc prouvé que \(\lambda_1u_1 + \lambda_2u_2 + ... + \lambda_n u_n + \lambda_{n+1}u_{n+1}\) appartient à \(F\), c'est-à-dire que toute combinaison linéaire de \(n+1\) vecteurs de \(F\) appartient à \(F\).
Remarque :
La stabilité de \(F\) par combinaison linéaire de deux vecteurs est équivalente à la stabilité de \(F\) par combinaison linéaire (d'un nombre quelconque de vecteurs).
Exemple :
L'ensemble \(P\) des fonctions polynômes de \(\mathbb R\) dans \(\mathbb R\) est un sous-espace vectoriel de \(F( \mathbb R, \mathbb R)\), l'espace vectoriel des applications de \(\mathbb R\) dans \(\mathbb R\).
L'ensemble \(P_n\) des fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à \(n\) est un sous-espace vectoriel de \(P\), donc de \(F( \mathbb R, \mathbb R)\).
En revanche, pour \(n\ge 1\) , l'ensemble des fonctions polynômes de degré exactement égal à \(n\) n'est pas un sous-espace vectoriel de \(P\).
En effet ce n'est pas un ensemble stable pour l'addition des fonctions : par exemple les fonctions \(f\) et \(g\) définies par \(f(x) = x + 1\) et \(g(x) = -x + 1\) sont des fonctions polynômes de degré 1, mais leur somme ne l'est pas.