Reconnaître un sous-espace vectoriel de K^n
Durée : 10 mn
Note maximale : 10
Question
Les parties suivantes de \(\mathbb{R}^4\) sont-elles des sous-espaces vectoriels de \(\mathbb{R}^4\) :
\(E_1=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4,y=3t\}\)
\(E_2=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4,x\neq z\}\)
\(E_3=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4,z=3\}\)
Solution
Barème : 6pts pour \(E_1\), 2pts pour \(E_2\) et 2pts pour \(E_3\).
La partie \(E_1\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^4\), car
\(E_1\) est non vide car l'élément \((0,0,0,0)\) appartient à \(E_1\),
et \(E_1\) est stable par combinaison linéaire.
En effet, soient \(X=(x,y,z,t)\) et \(X'=(x',y',z',t')\) des éléments de \(E_1\)(donc leurs coordonnées
vérifient \(y=3t\) et \(y'=3t'\)),
et soient \(\alpha\) et \(\beta\) deux réels, alors le vecteur \(\alpha X+\beta X'=(\alpha x+\beta x',\alpha y+\beta y',\alpha z+\beta z',\alpha t+\beta t')\) a ses coordonnées qui vérifient \(\alpha y+\beta y'=3(\alpha t+\beta t')\), donc il appartient bien à \(E_1\).
Les parties \(E_2\) et \(E_3\) ne sont pas des sous-espaces vectoriels de \(\mathbb{R}^4\), car l'élément nul \((0,0,0,0)\) n'appartient à aucun d'eux, or un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel contient nécessairement le vecteur nul.