Reconnaître un sous-espace de suites
Durée : 10 mn
Note maximale : 10
Question
Soit \(S\) l'espace vectoriel des suites réelles.
Les parties suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels de \(S\)?
\(E_1=\{(x_n)_{n\in\mathbb N}\in S, x_0=0\}\)
\(E_2=\{(x_n)_{n\in\mathbb N}\in S, x_0=1\}\)
\(E_3=\{(x_n)_{n\in\mathbb N}\in S, \textrm{convergentes}\}\)
\(E_4=\{(x_n)_{n\in\mathbb N}\in S, \displaystyle{\lim_{n\rightarrow+\infty}x_n=2}\}\)
\(E_5=\{(x_n)_{n\in\mathbb N}\in S, \textrm{divergentes}\}\)
Solution
La partie \(E_1\) n'est pas vide, car elle contient la suite dont tous les termes sont nuls.
De plus, si \(X=(x_n)_{n\in\mathbb{N}}\) et \(Y=(y_n)_{n\in\mathbb{N}}\) sont des éléments de \(E_1\), et si on note
\(Z=(z_n)_{n\in\mathbb{N}}\) la suite \(X+Y\), alors \(z_0=x_0+y_0=0+0=0\), d'où \(Z\) appartient à \(E_1\);
et si \(\lambda\) est un scalaire réel, la suite \(\lambda X\) a pour terme d'indice 0 le réel \(\lambda x_0=0\), donc \(\lambda X\) appartient à \(E_1\).
Donc \(E_1\) est stable par addition et multiplication par un scalaire, c'est un sous-espace vectoriel de \(S\).
D'après les propriétés des suites convergentes, la partie \(E_3\) (non vide) est stable par addition et multiplication par un scalaire, donc elle est un sous-espace vectoriel de \(S\).
Les parties \(E_2\), \(E_4\) et \(E_5\) ne sont pas des sous-espaces vectoriels de \(S\), car la suite dont tous les termes sont nuls, qui est le zéro de l'espace \(S\), n'appartient ni à \(E_2\), ni à \(E_4\), ni à \(E_5\), or un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel contient nécessairement le vecteur nul.