Reconnaître un sous-espace vectoriel de fonctions
Durée : 10 mn
Note maximale : 10
Question
On considère l'espace vectoriel \(F(\mathbb R,\mathbb R)\) des fonctions de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\).
Les parties suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels de \(F(\mathbb{R},\mathbb{R})\) ?
\(E_1=\{f\in F(\mathbb{R},\mathbb{R}),f \textrm{continue}\}\)
\(E_2=\{f\in F(\mathbb{R},\mathbb{R}),f \textrm{dérivable}\}\)
\(E_3=\{f\in F(\mathbb{R},\mathbb{R}),2f(0)=f(1)\}\)
\(E_4=\{f\in F(\mathbb{R},\mathbb{R}), f(2)=f(1)+1\}\)
Solution
Barème : 2pts pour \(E_1\), \(E_2\), \(E_4\) et 4pts pour \(E_3\).
Les parties \(E_1\), \(E_2\) et \(E_3\) contiennent la fonction nulle, donc ne sont pas vides.
Les parties \(E_1\), \(E_2\) sont des sous-espaces vectoriels de \(F(\mathbb{R} ,\mathbb{R})\) car elles sont stables par addition et multiplication par un scalaire, ceci d'après les propriétés des fonctions continues et des fonctions dérivables.
La partie \(E_3\) est aussi un sous-espace vectoriel.
En effet, soient \(f\) et \(g\) dans \(E_3\), et \(\lambda\) un scalaire de \(\mathbb{R}\), alors \(2f(0)=f(1)\) et \(2g(0)=g(1)\),
donc \(2[f(0)+g(0)]=f(1)+g(1)\) et \(2\lambda f(0)=\lambda f(1)\), ce qui entraîne que \(f+g\) et \(\lambda f\) sont des éléments de \(E_3\).
Par contre \(E_4\) n'est pas un sous-espace vectoriel de \(F(\mathbb{R},\mathbb{R})\), car la fonction nulle n'appartient pas à \(E_4\), or un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel contient nécessairement le vecteur nul.