Reconnaître un sous-espace vectoriel de fonctions [Constructions]

Reconnaître un sous-espace vectoriel de fonctions

Durée : 10 mn

Note maximale : 10

Question

On considère l'espace vectoriel $F(\mathbb R,\mathbb R)$ des fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ .

Les parties suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels de $F(\mathbb{R},\mathbb{R})$ ?

$E_1=\{f\in F(\mathbb{R},\mathbb{R}),f \textrm{continue}\}$

$E_2=\{f\in F(\mathbb{R},\mathbb{R}),f \textrm{dérivable}\}$

$E_3=\{f\in F(\mathbb{R},\mathbb{R}),2f(0)=f(1)\}$

$E_4=\{f\in F(\mathbb{R},\mathbb{R}), f(2)=f(1)+1\}$

Solution

Barème : 2pts pour $E_1$ , $E_2$ , $E_4$ et 4pts pour $E_3$ .

Les parties $E_1$ , $E_2$ et $E_3$ contiennent la fonction nulle, donc ne sont pas vides.

Les parties $E_1$ , $E_2$ sont des sous-espaces vectoriels de $F(\mathbb{R} ,\mathbb{R})$ car elles sont stables par addition et multiplication par un scalaire, ceci d'après les propriétés des fonctions continues et des fonctions dérivables.

La partie $E_3$ est aussi un sous-espace vectoriel.

En effet, soient $f$ et $g$ dans $E_3$ , et $\lambda$ un scalaire de $\mathbb{R}$ , alors $2f(0)=f(1)$ et $2g(0)=g(1)$ ,

donc $2[f(0)+g(0)]=f(1)+g(1)$ et $2\lambda f(0)=\lambda f(1)$ , ce qui entraîne que $f+g$ et $\lambda f$ sont des éléments de $E_3$ .

Par contre $E_4$ n'est pas un sous-espace vectoriel de $F(\mathbb{R},\mathbb{R})$ , car la fonction nulle n'appartient pas à $E_4$ , or un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel contient nécessairement le vecteur nul.