Constructions

Barème : 3pts pour \(F\cap G=\{0\}\) et 7pts pour \(\mathbb{R}^4=F+G\).

On détermine \(F\cap G\).

Soit \(V=(x,y,z,t)\) un élément de \(F\cap G\);

alors on a à la fois \(x=y=z\) et \(x=t=0\), donc \(x=y=z=t=0\),

d'où \(F\cap G=\{0\}\) et la somme de \(F\) et \(G\) est directe.

On montre que \(\mathbb{R}^4=F+G\).

Soit \(U=(x,y,z,t)\) un vecteur quelconque de \(\mathbb{R}^4\), on cherche un élément \(V\) de \(F\), et un élément \(W\) de \(G\), vérifiant \(U=V+W\).

Donc on cherche des réels \(a\) et \(b\) tels que \(V=(a,a,a,b)\), et des réels \(c\) et \(d\) tels que \(W=(0,c,d,0)\), vérifiant \((x,y,z,t)=(a,a+c,a+d,b)\).

Il suffit de choisir \(a=x\), \(b=t\), \(c=y-x\) et \(d=z-x\),

pour avoir \((x,y,z,t)=(x,x,x,t)+(0,y-x,z-x,0)\) avec \((x,x,x,t)\in F\) et \((0,y-x,z-x,0)\in G\).

D'où \(\mathbb R^4=F+G\).

Comme \(F\cap G=\{0\}\), alors \(\mathbb{R}^4=F\oplus G\);

donc \(F\) et \(G\) sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de \(\mathbb{R}^4\).