Barème : 5pts pour la question 1, 4pts pour la question 2 et 1pt pour la question 3.
1) La somme de \(F_a\) et \(G_a\) est directe si et seulement si leur intersection est réduite au vecteur nul.
On détermine \(F_a\cap G_a\).
Le vecteur \(U=(x,y,z)\) appartient à \(F_a\cap G_a\) si et seulement si les réels \(x\), \(y\), \(z\), vérifient les systèmes équivalents suivants :
\(\displaystyle{\left\{\begin{array}{rcrrr}ax&+&y&-&z=0\\ax&-&ay&-&z=0\\x&&&-&z=0\end{array}\right.}\Leftrightarrow\displaystyle{\left\{\begin{array}{rcrcclr}x&-&z&=&0&L_1\leftarrow L_3&\\(a-1)z&+&y&=&0&L_2\leftarrow L_1-aL_3&\\(a-1)z&-&ay&=&0&L_3\leftarrow L_2-aL_3&\end{array}\right.}\)
\(\displaystyle{\begin{array}{r}\quad\quad\quad\quad\\\quad\quad\quad\quad\\\quad\quad\quad\quad\end{array}}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{rcrcrclr}x&-&z&&&=&0&\\&&(a-1)z&+&y&=&0&\\&&&&(1+a)y&=&0&L_3\leftarrow L_2-L_3\end{array}\right.\)
- Si \(a\neq1\) et \(a\neq-1\), on en déduit que \(x=y=z=0\) donc \(F_a\cap G_a=\{0\}\); donc la condition
\(a\neq1\) et \(a\neq-1\) est une condition suffisante pour que la somme de \(F_a\) et \(G_a\) soit directe.
- Si \(a=1\), alors \(y=0\), \(x=z\), tous les vecteurs \((z,0,z)\)(\(z\) appartenant à \(\mathbb R\)), appartiennent à \(F_1\cap G_1\).
- Si \(a=-1\), \(x=z\), \(y=2z\), tous les vecteurs \((z,2z,z)\)(\(z\) appartenant à \(\mathbb R\)), appartiennent
à \(F_{-1}\cap G_{-1}\).
Donc si \(a=1\) ou si \(a=-1\), la somme de \(F_a\) et \(G_a\) n'est pas directe.
Donc la somme de \(F_a\) et \(G_a\) est directe si et seulement si \(a\neq1\) et \(a\neq-1\).
2) D'après la question 1), si \(a=0\), la somme de \(F_0\) et \(G_0\) est directe.
On démontre que \(\mathbb R^3=F_0+G_0\) avec
\(F_0=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3,y=z\}\)
\(G_0=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3,x=z=0\}\)
Soit \(U=(x,y,z)\) un vecteur quelconque de \(\mathbb R^3\), on cherche un élément \(V\) de \(F_0\), et un élément \(W\) de \(G_0\), vérifiant \(U=V+W\).
Or \(V\) appartient à \(F_0\) si et seulement s'il existe deux réels \(a\) et \(b\) tels que \(V=(a,b,b)\),
et \(W\) appartient à \(G_0\) si et seulement s'il existe un réel \(c\) tel que \(W=(0,c,0)\).
Donc on cherche des réels \(a\), \(b\) et \(c\) tels que \((x,y,z)=(a,b,b)+(0,c,0)=(a,b+c,b)\).
Il suffit de choisir \(a=x\), \(b=z\), et \(c=y-z\). D'où \(\mathbb{R}^3=F_0+G_0\).
Comme la somme de \(F_0\) et \(G_0\) est directe, alors \(\mathbb R^3=F_0\oplus G_0\), donc \(F_0\) et \(G_ 0\) sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de \(\mathbb R^3\).
3) Si \(a=1\), on a vu à la question 1) que la somme de \(F_a\) et \(G_a\) n'est pas directe ; donc ces sous-espaces ne sont pas supplémentaires.