Constructions

Barème : 5pts pour la question 1 et 5pts pour la question 2.

1) On caractérise les éléments de \(F\):

\(p\in F \Leftrightarrow \exists(a,b,c)\in\mathbb R^3,\forall x\in\mathbb R, p(x)=ax^2+bx+c\), \(p\) paire

or \(p\) est paire se traduit par :

\(\forall x\in\mathbb R, ax^2+bx+c=a(-x^2)-bx+c\Leftrightarrow \forall x\in\mathbb R, 2bx=0\Leftrightarrow b=0\)

donc on a :

\(p\in F\Leftrightarrow\exists(a,c)\in\mathbb R^2,\forall x\in\mathbb R,p(x)=ax^2+c\)

Donc \(p\) appartient à \(F\) si et seulement si \(p\) est une combinaison linéaire des deux fonctions polynômes \(x\mapsto x^2\) et \(x\mapsto1\).

De même on caractérise les éléments de \(G\) :

\(p\in G\Leftrightarrow\exists(a,b,c)\in\mathbb R^3,\forall x\in\mathbb R,p(x)=ax^2+bx+c, p(0)=p(1)=0\)

Comme \(p(0)=c\) et \(p(1)=a+b+c\), on obtient

\(p\in G\Leftrightarrow\exists a\in\mathbb R^2,\forall x\in\mathbb R,p(x)=ax^2-ax\)

Donc \(p\) appartient à \(G\) si et seulement si \(p\) est une combinaison linéaire de la fonction polynôme :

\(x\mapsto x^2-x\).

Comme \(F\) et \(G\) sont des ensembles de combinaisons linéaires d'éléments fixés de \(P_2\), ce sont des sous-espaces vectoriels de \(P_2\).

2) On détermine \(F\cap G\).

Soit \(p\) un élément de \(F\cap G\): \(\exists(a,b,c)\in\mathbb{R}^3,\forall x\in\mathbb R,p(x)=ax^2+bx+c\).

Comme \(p\) appartient à \(F\), on a \(b=0\), et comme \(p\) appartient à \(G\), \(c=0\), \(a+b+c=0\);

donc \(a=b=c=0\), d'où \(F\cap G=\{0\}\) et la somme de \(F\) et \(G\) est directe.

On montre que \(P_2=F+G\): soit \(p\) un vecteur quelconque de \(P_2\), on cherche un élément \(q\) de \(F\), et un élément \(r\) de \(G\), vérifiant \(p=q+r\).

La fonction polynôme \(p\) est définie par : \(\exists(\alpha,\beta,\gamma)\in\mathbb R^3,\forall x\in\mathbb R,p(x)=\alpha x^2+\beta x+\gamma\).

Donc on cherche des réels \(a\), \(b\) et \(c\) tels que \(\forall x\in\mathbb{R}\), \(q(x)=ax^2+b\), et \(\forall x\in\mathbb R\), \(r(x)=cx^2-cx\) vérifiant :

\(\forall x\in\mathbb R\), \(\alpha x^2+\beta x+\gamma=ax^2+b+cx^2-cx=(a+c)x^2-cx+b\).

Il suffit de choisir \(b=\gamma\), \(c=-\beta, a=\alpha+\beta\), pour avoir \(p=q+r\). D'où \(P_2=F+G\).

Comme \(F\cap G=\{0\}\), alors \(P_2=F\oplus G\);

donc \(F\) et \(G\) sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de \(P_2\).