Sous-espace de R^4 engendré par trois vecteurs
Partie
Question
Le vecteur \(t=(1,0,-1,5)\) appartient-il au sous-espace vectoriel de \(\mathbb R^4\) engendré par les vecteurs :
\(u=(1,4,5,2)\), \(v=(1,2,3,2)\) et \(w=(1,1,0,-1)\) ?
Aide simple
Ecrire \(\alpha u+\beta v+\gamma w\) sous forme de quadruplet. L'égalité de deux quadruplets se traduisant par l'égalité de leurs composantes de même rang, écrire l'égalité \(t=\alpha u+\beta v+\gamma w\) sous forme de système.
Aide méthodologique
Montrer qu'un vecteur \(t\) appartient au sous-espace vectoriel engendré par trois vecteurs \(u\), \(v\) et \(w\) revient à montrer que ce vecteur peut s'écrire comme combinaison linéaire de \(u\), \(v\) et \(w\).
On cherche donc s'il existe trois réels \(\alpha\), \(\beta\) et \(\gamma\) tels que \(t=\alpha u+\beta v+\gamma w\).
Aide à la lecture
Le sous-espace vectoriel engendré par les vecteurs \(u\), \(v\) et \(w\) est l'ensemble des combinaisons linéaires de \(u\), \(v\) et \(w\).
Solution détaillée
Le vecteur \(t\) appartient au sous-espace vectoriel engendré par les trois vecteurs \(u\), \(v\) et \(w\) si et seulement si il peut s'écrire comme combinaison linéaire de \(u\), \(v\) et \(w\),
c'est-à-dire si et seulement si il existe trois réels \(\alpha\), \(\beta\) et \(\gamma\) tels que \(t=\alpha u+\beta v+\gamma w\).
\(\alpha u+\beta v+\gamma w=\alpha(1,4,5,2)+\beta(1,2,3,2)+\gamma(1,1,0,-1)\)
\(t=\alpha u+\beta v+\gamma w\Leftrightarrow(1,0,-1,5)=(\alpha+\beta+\gamma,4\alpha+2\beta+\gamma,5\alpha+3\beta,2\alpha+2\beta-\gamma)\)
L'égalité de deux quadruplets se traduit par l'égalité de leurs composantes de même rang.
Chercher trois réels \(\alpha\), \(\beta\) et \(\gamma\) tels que revient à résoudre le système \((S)\)
\((S)~\left\{\begin{array}{rcrcrcr}\alpha&+&\beta&+&\gamma&=&1\\4\alpha&+&2\beta&+&\gamma&=&0\\5\alpha&+&3\beta&&&=&-1\\2\alpha&+&2\beta&-&\gamma&=&5\end{array}\right.\)
On résout le système \((S)\) en utilisant la méthode du pivot de Gauss.
\((S)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{rcrcrcrr}\alpha&+&\beta&+&\gamma&=&1&\\&-&2\beta&-&3\gamma&=&-4&L_2\leftarrow L_2-4L_1\\&-&2\beta&-&5\gamma&=&-6&L_3\leftarrow L_3-5L_1\\&&&-&3\gamma&=&3&L_4\leftarrow L_4-2L_1\end{array}\right.\)
\((S)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{rcrcrcrr}\alpha&+&\beta&+&\gamma&=&1&\\&-&2\beta&-&3\gamma&=&-4&\\&&&-&2\gamma&=&-2&L_3\leftarrow L_3-L_2\\&&&-&3\gamma&=&3&\end{array}\right.\)
\(L_3\Leftrightarrow\gamma=1\) et \(L_4\Leftrightarrow\gamma=-1\)
Les deux dernières équations sont donc incompatibles.
Le système \((S)\) n'a donc pas de solution. Le vecteur \(t\) n'appartient donc pas au sous-espace vectoriel engendré par \(u\), \(v\) et \(w\).