Intersection de sous espaces de R^3
Partie
Question
Etant donné trois réels non tous nuls \(a\), \(b\) et \(c\), on considère l'ensemble \(F\) défini par :
\(F=\left\{(x,y,z)\in\mathbb R^3~/~ax+by+cz=0\right\}\)
Montrer que \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb R^3\).
Soit \(G\) l'ensemble défini par :
\(G=\left\{(x,y,z)\in\mathbb R^3~/~(x+y-2z)^2+(2x-y+z)^2=0\right\}\)
Montrer que \(G\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb R^3\).
Aide simple
Pour la question 1. : par hypothèse les trois réels \(a\), \(b\) et \(c\) ne sont pas tous nuls. L'un au moins d'entre eux est donc différent de zéro. On peut donc supposer que \(a\) est différent de zéro, ce qui permet d'exprimer \(x\) en fonction de \(y\) et \(z\).
Pour la question 2. : En utilisant le résultat suivant "le carré d'un nombre réel est un nombre réel positif ou nul", donner une autre caractérisation de l'ensemble \(G\).
Aide méthodologique
Pour montrer qu'une partie \(H\) d'un espace vectoriel \(E\) est un sous-espace vectoriel de \(E\), on peut :
ou bien utiliser le théorème suivant :
Soit \(E\) un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel et \(F\) une partie de \(E\), \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(E\) si et seulement si
\(F\) est non vide
\(F\) est stable pour l'addition et la multiplication par un scalaire.
ou bien montrer que la partie \(H\) est le sous-espace vectoriel engendré par des vecteurs \(v_1,v_2,\ldots,v_p\) de \(E\), c'est-à-dire montrer que la partie \(H\) est l'ensemble des combinaisons linéaires d'un nombre fini de vecteurs de \(E\).
ou bien montrer que la partie \(H\) est l'intersection de deux sous-espaces vectoriels de \(E\) et utiliser le théorème suivant :
L'intersection de deux sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel \(E\) est un sous-espace vectoriel de \(E\).
Le choix de la méthode dépend bien sûr de la façon dont est définie la partie \(H\).
Aide à la lecture
Dans les deux questions, il s'agit de démontrer qu'une partie de \(\mathbb R^3\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb R^3\).
Solution détaillée
1. Par hypothèse les trois réels \(a\), \(b\) et \(c\) ne sont pas tous nuls. L'un au moins d'entre eux est donc différent de zéro. On peut donc supposer que \(a\) est différent de zéro.
Un triplet \(u=(x,y,z)\) de \(\mathbb R^3\) appartient à \(F\) si et seulement si \(ax+by+cz=0\) c'est-à-dire si et seulement si \(\displaystyle{x=-\frac{b}{a}y-\frac{c}{a}z}\).
Donc \(u\) est élément de \(F\) si et seulement \(u\) peut s'écrire \(\displaystyle{u=\left(-\frac{b}{a}y-\frac{c}{a}z,y,z\right)}\),
c'est-à-dire \(\displaystyle{u=y\left(-\frac{b}{a},1,0\right)+z\left(-\frac{c}{a},0,1\right)}\).
L'ensemble \(F\) est donc l'ensemble des combinaisons linéaires des triplets \(\displaystyle{\left(-\frac{b}{a},1,0\right)}\) et \(\displaystyle{\left(-\frac{c}{a},0,1\right)}\).
C'est donc le sous-espace vectoriel engendré par ces deux triplets.
C'est donc un sous-espace vectoriel de \(\mathbb R^3\).
Remarque :
Pour montrer que \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb R^3\) on aurait pu aussi utiliser le premier théorème cité dans la méthodologie, la méthode choisie ici a l'avantage d'être plus rapide et de donner un renseignement supplémentaire sur \(F\).
2. Le carré d'un nombre réel est un nombre réel positif ou nul.
On a donc : \((x+y-2z)^2+(2x-y+z)^2=0\Leftrightarrow x+y-2z=0\) et \(2x-y+z=0\).
Un triplet \(u=(x,y,z)\) de \(\mathbb R^3\) appartient donc à \(G\) si et seulement si \(x+y-2z=0\) et \(2x-y+z=0\).
Soient \(G_1\) et \(G_2\) les ensembles définis par :
\(G_1=\left\{(x,y,z)\in\mathbb R^3~|~x+y-2z=0\right\}\) et \(G_2=\left\{(x,y,z)\in\mathbb R^3~|~2x-y+z=0\right\}\)
L'ensemble \(G\) est égal à l'intersection des ensembles \(G_1\) et \(G_2\). D'après la question 1, \(G_1\) et \(G_2\) sont des sous-espaces vectoriels de \(\mathbb R^3\).
D'après le théorème suivant :
Théorème :
L'intersection de deux sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel \(E\) est un sous-espace vectoriel de \(E\).
On peut conclure que \(G\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb R^3\).