Equation d'un sous-espace de R^3 engendré par deux vecteurs [Constructions]

Equation d'un sous-espace de R^3 engendré par deux vecteurs

Partie

Question

Soit $F$ le sous-espace vectoriel de $\mathbb R^3$ engendré par les vecteurs $(1,-1,2)$ et $(2,1,1)$

Montrer qu'il existe trois réels $a$ , $b$ , $c$ tels que $F=\left\{(x,y,z)\in\mathbb R^3~|~ax+by+cz=0\right\}$

Aide simple

L'égalité de deux triplets se traduisant par l'égalité de leurs composantes de même rang, écrire l'égalité $(x,y,z)=\alpha(1,-1,2)+\beta(2,1,1)$ sous forme de système, $\alpha$ et $\beta$ étant les inconnues du système.

Aide méthodologique

Un vecteur $(x,y,z)$ appartient à $F$ si et seulement si il existe deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que $(x,y,z)=\alpha(1,-1,2)\beta(2,1,1)$ .

On cherche à répondre à la question suivante : $x$ , $y$ et $z$ étant donnés, à quelle condition peut-on trouver $\alpha$ et $\beta$ tels que $(x,y,z)=\alpha(1,-1,2)+\beta(2,1,1)$ .

Aide à la lecture

Il s'agit de chercher une caractérisation des triplets $(x,y,z)$ appartenant à $F$ , c'est-à-dire de trouver une condition nécessaire et suffisante portant sur $x$ , $y$ et $z$ pour que le vecteur $(x,y,z)$ appartienne à $F$ .

Solution détaillée

Un vecteur $(x,y,z)$ appartient à $F$ si et seulement si il existe deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que $(x,y,z)=\alpha(1,-1,2)+\beta(2,1,1)$ .

$(x,y,z)=\alpha(1,-1,2)+\beta(2,1,1)$ .

$\alpha(1,-1,2)+\beta(2,1,1)=(\alpha+2\beta,-\alpha+\beta,2\alpha+\beta)$

L'égalité de deux triplets se traduisant par l'égalité de leurs composantes de même rang,

trouver deux réels $\alpha$ et $\beta$ vérifiant l'égalité $(x,y,z)=\alpha(1,-1,2)+\beta(2,1,1)$

revient à résoudre le système $(S)$

$(S)~\left\{\begin{array}{rcrcr}\alpha&+&2\beta&=&x\\-\alpha&+&\beta&=&y\\2\alpha&+&\beta&=&z\end{array}\right.$

$(S)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{rcrcll}\alpha&+&2\beta&=&x&\\&&3\beta&=&y+x&L_2\leftarrow L_2+L_1\\&-&3\beta&=&z-2x&L_3\leftarrow L_3-2L_1\end{array}\right.$

$(S)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{rcrcll}\alpha&+&2\beta&=&x&\\&&3\beta&=&y+x&\\&&0&=&y+z-x&L_3\leftarrow L_3+L_2\end{array}\right.$

Si $-x+y+z\ne0$ la dernière équation n'est jamais vérifiée, le système $(S)$ n'a donc pas de solution.

Si $-x+y+z=0$ la dernière équation est toujours vérifiée et les deux premières équations permettent de trouver $\alpha$ et $\beta$ .

Le système $(S)$ a donc des solutions si et seulement si $-x+y+z=0$ . L'ensemble $F$ est donc l'ensemble des triplets $(x,y,z)$ tels que $-x+y+z=0$ .

On dit que $F$ a pour équation : $-x+y+z=0$ .