Partie contenant une famille génératrice
Propriété :
Soit \(E\) un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel admettant une famille finie de générateurs \(v_1, v_2, ... , v_p\) ; toute partie \(A\) de \(E\) contenant les vecteurs \(v_1, v_2, ... , v_p\) est encore une partie génératrice de \(E\).
Preuve :
Ceci est tout à fait immédiat en reprenant la définition de sous-espace engendré par une partie et en utilisant le fait que les vecteurs \(v_1, v_2, ... , v_p\) sont des éléments de \(A\).
Remarque :
Si les vecteurs \(v_1, v_2, ... , v_p\) engendrent \(E\), une sous-famille de la famille \(v_1, v_2, ... , v_p\) peut ne pas engendrer \(E\).
Considérons par exemple \(E = \mathbb R^3\).
Soient les vecteurs \(u = (1,0,0), v = (0,1,0)\) et \(w = (0,0,1)\). Ils engendrent \(E\).
En effet tout élément \(x = (x_1, x_2, x_3)\) de \(\mathbb R^3\) peut s'écrire \(x = x_1u + x_2v + x_3w\).
En revanche, si l'on ne considère que la partie composée des éléments \(u = (1,0,0)\) et \(v = (0,1,0)\), elle n'engendre pas \(\mathbb R^3\).
Il suffit pour justifier cette affirmation de trouver un élément de \(\mathbb R^3\) qui n'est pas combinaison linéaire des vecteurs \(u\) et \(v\) : le vecteur \(w\), par exemple, n'est pas une combinaison linéaire des vecteurs \(u\) et \(v\) sinon il existerait deux réels \(a\) et \(b\) tels que \(w = (0,0,1) = a(1,0,0) + b (1,0,0) + b(0,1,0)\) entrainant, entre autre que \(0 = 1\) (en regardant les troisièmes composantes).