"Réduction" d'une famille génératrice
Propriété :
Si les vecteurs \(v_1, v_2, ... , v_p\) engendrent \(E\) et si l'un des vecteurs, par exemple \(v_p\), est combinaison linéaire des autres, alors la partie \(\{ v_1, v_2, ... , v_p\} - \{v_p\} = \{ v_1, v_2, ... , v_{p-1}\}\) engendre \(E\).
Preuve :
En effet, comme les vecteurs \(v_1, v_2, ... , v_p\) engendrent \(E\), pour tout élément \(x\) de \(E\), il existe des scalaires \(x_i\) tels que \(x = x_1v_1 + x_2v_2 + ... + x_pv_p\) .
Or l'hypothèse " \(v_p\) est combinaison linéaire des vecteurs \(v_1, v_2, ... , v_{p - 1}\) " se traduit par l'existence de scalaires \(\alpha_1, \alpha_2, ... , \alpha_{p-1}\) tels que \(\alpha_1v_1 + \alpha_2v_2 + ... + \alpha_{p-1}v_{p-1} = v_p\).
Alors, le vecteur x s'écrit :
\(x = x_1v_1 + x_2v_2 + ... + x_p(\alpha_1v_1 + \alpha_2v_2 + ... + \alpha_{p-1}v_{p-1} = v_p)\) soit
\(x = (x_1 + x_p \alpha_1) v_1 + (x_2 + x_p \alpha_2)v_2 + ... + (x_{p-1} + x_p \alpha_{p-1}) v_{p-1}\)
ce qui prouve que \(x\) est combinaison linéaire des vecteurs \(v_1, v_2, ... , v_{p-1}\) ceci achève la démonstration. Il est clair que si l'on remplace \(v_p\) par n'importe lequel des vecteurs \(v_i\), la démonstration est la même.
Remarque : Remarque 1
Un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel quelconque ne possède pas obligatoirement de système fini de générateurs. Par exemple l'espace vectoriel réel des fonctions polynômes sur \(\mathbb R\).
Remarque : Remarque 2
Soit \(E\) un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel et \(F\) un sous-espace vectoriel de \(E\).
Si \(F\) admet un système fini de générateurs \(v_1, v_2, ... , v_p\), il résulte de la définition (appliquée à l'espace vectoriel \(F\)) que les vecteurs \(v_i\), \(1 \le i \le p\), sont nécessairement éléments de \(F\).