Espace vectoriel de type fini

Soit le \(\mathbb R\textrm{-espace}\) vectoriel \(\mathbf{R}^2\) et les vecteurs \(v = (1,0)\) et \(w = (1,1)\). Les vecteurs \(v\) et \(w\) engendrent \(E\).

En effet, soit \(u = (x,y)\) un élément quelconque de \(E\). Montrer que \(u\) est combinaison linéaire de \(v\) et \(w\) revient à démontrer l'existence de deux réels \(\alpha\) et \(\beta\) tels que \(\alpha v + \beta w = u\).

Il s'agit donc d'étudier l'existence de solutions du système :

\(A = \left\{\begin{array}{rcrcr}\alpha&+&\beta&=&x\\&&\beta&=&y\end{array}\right.\)

Il a pour solution \(\beta = y\) et \(\alpha = x - y\) et ceci, quels que soient les réels \(x\) et \(y\).

Toujours dans le \(R\)-espace vectoriel \(\mathbb R^2\), il est facile de démontrer que \(\{ (1,0), (0,1)\}\) est aussi une partie génératrice de \(\mathbb R^2 ((x,y) = x (1,0) + y (0,1))\).

Ceci prouve qu'il peut exister plusieurs familles finies différentes, non incluses les unes dans les autres, engendrant le même espace vectoriel.

Soit \(E = P_n(\mathbf{R})\) le \(\mathbb R\textrm{-espace}\) vectoriel des fonctions polynômes de degré inférieur où égal à \(n\).

Soient \(f_0, f_1, ... , f_K, ..., f_n\) les fonctions de \(\mathbb R\) dans \(\mathbb R\) définies pour tout \(x\) de \(\mathbb R\) par :

\(f_0(x) = 1, f_1(x) = x, ... , f_k(x) = x^k, ..., f_n(x) = x^n\).

Les fonctions \(f_0, f_1, ... , f_k, ... , f_n\) constituent une famille génératrice de \(P_n(\mathbf{R})\)

Soit \(E = \mathbb R\) considéré comme un \(\mathbb R\textrm{-espace}\) vectoriel. Soit \(a\) un élément non nul de \(\mathbb R\).

Alors \(\{ a\}\), où \(a\) est considéré comme un vecteur, est une partie génératrice de \(E\).

En effet, soit \(x\) un élément quelconque de \(\mathbb R\). Il peut s'écrire

\(x = (\frac{x}{a})a\)

L'inverse de \(a\), \(\frac{1}{a}\), existe car a est non nul ; dans cette égalité, \(\frac{x}{a}\) joue le rôle d'un scalaire et \(a\) celui d'un vecteur.