Exemples
Exemple : Exemple 1
La dimension du \(\mathbb R\) -espace vectoriel \(\mathbb R^2\) est égale à \(2\)
La base canonique (ou base "de référence") de\( \mathbb R^2\) est \(((1, 0), (0, 1))\).
Toutes les bases de \(\mathbb R^2\) ont donc deux éléments. La dimension de \(\mathbb R^2\) est donc \(2\).
Exemple : Exemple 2
La dimension du \(\mathbf K\) -espace vectoriel \(\mathbf K^n\) est égale à \(n\)
La base canonique de \(\mathbf K^n\) , muni de sa structure d'espace vectoriel sur \(\mathbf K\), est \((e_1, e_2, ... , e_n)\) où, pour\( i =1, 2, ... ,n, e_i\) est le \(n\textrm{-uplet}\) dont toutes les composantes sont nulles sauf la \(i^{\textrm{\`eme}}\) qui vaut \(1\). Toutes les bases de \(\mathbf K^n\) ont donc \(n\) éléments : la dimension de \(\mathbf K^n\) sur \(\mathbf K\) est donc égale à \(n\). En particulier \(\mathbb R\) muni de sa structure de \(\mathbb R\textrm{-espace}\) vectoriel, et \(\mathbb C\) muni de sa structure de \(\mathbb C\textrm{-espace}\) vectoriel ont pour dimension \(1\).
Exemple : Exemple 3
La dimension du \(\mathbb R\) -espace vectoriel \(Pn\) (espace des fonctions polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à \(n\)) est égale à \(n + 1\).
La base canonique de \(Pn\) est \((f_0, f_1, f_2, ... , f_n)\) où, pour\( i = 0,1, ... , n, f_i\) est l'application définie sur \(\mathbb R\) par : \(f_i(x) = x^i\).
La dimension de \(P_n\) est \(n+1\).
Exemple : Exemple 4
La dimension du \(\mathbb R\) -espace vectoriel \(\mathbb C\) est égale à \(2\)
Si l'ensemble des nombres complexes \(\mathbb C\) est muni de sa structure d'espace vectoriel sur \(\mathbb R\) (la loi externe est la multiplication par un scalaire réel), la base canonique de \(\mathbb C\) est \((1,i)\).
La dimension de \(\mathbb C\) sur \(\mathbb R\) \((\mathrm{dim}_\mathbb R \mathbb C)\) est donc égale à \(2\).