Propriétés d'un espace vectoriel de dimension n (n>0)
Lorsqu'un espace vectoriel est de type fini, le fait de connaître sa dimension est une information très riche ; les propriétés et théorèmes suivants montrent comment exploiter cette information.
Propriété :
Soit \(E\) un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel de dimension \(n\) non nulle, alors :
Toute partie libre de \(E\) a au plus \(n\) éléments.
Toute partie génératrice de \(E\) a au moins \(n\) éléments.
Preuve :
L'espace vectoriel \(E\) étant de dimension \(n\) (non nulle), il existe une partie de \(E\) ayant \(n\) éléments qui détermine une base de \(E\), c'est-à-dire à la fois libre et génératrice.
\(E\) étant engendré par une partie ayant \(n\) éléments, toute partie libre de \(E\) a au maximum \(n\) éléments, sinon elle est liée (conséquence du lemme).
Il existe une partie libre de \(E\) ayant \(n\) éléments, par conséquent toute partie génératrice de \(E\) a au minimum \(n\) éléments (conséquence du lemme).
Théorème :
Soient \(E\) un \(K\)-espace vectoriel de dimension \(n\) non nulle, et \(u_1, u_2, ... ,u_n\) n vecteurs de \(E\) :
Si \(\{ u_1, u_2, ... ,u_n\}\) est une partie libre alors \((u_1, u_2, ... ,u_n )\) est une base de \(E\).
Si \(\{ u_1, u_2, ... ,u_n\}\) est une partie génératrice de \(E\) alors \((u_1, u_2, ... ,u_n )\) est une base de \(E\).
Autrement dit, lorsque le nombre de vecteurs considéré est exactement égal à la dimension de l'espace vectoriel, l'une des deux conditions : générateurs, ou linéairement indépendants suffit pour que ces vecteurs déterminent une base de \(E\).
Preuve :
C'est une conséquence immédiate du théorème précédent.
Si la dimension de \(E\) est égale à \(n\) toute partie libre ayant exactement \(n\) éléments est une partie libre maximale donc détermine une base de \(E\).
De même, une partie génératrice de \(E\) ayant \(n\) éléments est une partie génératrice minimale, donc détermine une base de \(E\).
Méthode :
Dans le cas où la dimension \(n\) de l'espace vectoriel \(E\) est connue, si on considère une famille de \(p\) vecteurs \(\{ v_1, v_2, ... ,v_p\}\), la comparaison des entiers \(p\) et \(n\) donne :
si \(\mathbf{p > n}\), on est sûr que la famille\( \{ v_1, v_2, ... ,v_p\}\) est liée, en revanche on ne sait pas si elle engendre ou non l'espace \(E\).
si \(\mathbf{p < n}\), on est sûr que la famille \(\{ v_1, v_2, ... ,v_p\}\) n'est pas génératrice de \(E\), en revanche on ne sait pas si elle est libre ou liée.
si \(\mathbf{p = n}\), il n'y a pas d'information a priori sur le caractère libre ou non, générateur ou non de \(\{ v_1, v_2, ... ,v_p\}\).
En revanche, pour démontrer que ces \(n\) vecteurs déterminent une base de \(E\), il suffit de prouver que \(\{ v_1, v_2, ... ,v_p\}\) est une partie libre ou bien que \(\{ v_1, v_2, ... ,v_p\}\) engendre \(E\) (dans la pratique il est souvent plus simple de prouver qu'elle est libre).
Exemple :
Dans un espace vectoriel \(E\) de dimension \(1\), tout vecteur non nul \(u\) détermine une base de \(E\); en effet, \(\{ u\}\) est une partie libre de \(E\) ayant \(1\) élément. Précédent