Espace vectoriel de type fini

Soient \(F\) et \(G\) deux sous-espaces vectoriels de type fini d'un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel \(E\). Alors la somme \(F + G\) est un sous-espace vectoriel de type fini de \(E\) et sa dimension est inférieure ou égale à la somme des dimensions de \(F\) et de \(G\).

La dimension de \(F + G\) est égale à la somme des dimensions de \(F\) et de \(G\) si et seulement si la somme \(F + G\) est directe.

\(\begin{array}{rcl}F\textrm{ et }G\textrm{ de type fini }&\Rightarrow& F + G\textrm{ de type fini}\\\dim(F + G) &\le& \dim F + \dim G\\\dim(F+G) = \dim F + \dim G &\Leftrightarrow& F + G = F \oplus G\end{array}\)

Soient \((f_1, f_2, ..., f_p)\) et \((g_1, g_2, ..., g_q)\) des bases de \(F\) et de \(G\).

D'après la proposition précédente \(\{f_1, f_2, ... , f_p, g_1, g_2, ... , g_q\}\) D'après la proposition précédente \(F + G\), donc \(F + G\) est de type fini et sa dimension est inférieure ou égale au nombre d'éléments de la famille \(\{f_1, f_2, ... , f_p, g_1, g_2, ... , g_q\}\) donc inférieure ou égale à \(p + q = \mathrm{dim}F + \mathrm{dim}G\)

Donc \(\mathrm{dim}(F + G) \le \mathrm{dim}F + \mathrm{dim}G\).

De plus,

• Si la somme \(F + G\) est directe, alors \((f_1, f_2, ... , f_p, g_1, g_2, ... , g_q)\) est (d'après la proposition précédente) une base de \(F + G\).

  Donc la dimension de \(F + G\) est égale à \(p + q = \mathrm{dim}F + \mathrm{dim}G\).

• Réciproquement, si la dimension de \(F + G\) est égale à \(p + q = \mathrm{dim}F + \mathrm{dim}G\), alors la famille génératrice \(\{f_1, f_2, ... , f_p, g_1, g_2, ... , g_q\}\), qui a \((p + q)\) éléments, est une famille génératrice minimale de \(F + G\), donc détermine une base de \(F + G\).

  Ceci entraîne que \(F + G\) est directe (toujours d'après la proposition précédente).