Existence d'un supplémentaire
De la proposition précédente résulte aussi le théorème fondamental suivant :
Théorème :
Tout sous-espace vectoriel d'un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel de type fini admet un supplémentaire.
Preuve :
Soient \(E\) un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel de type fini, \(B = (e_1, e_2, ..., e_n)\) une base de \(E, F\) un sous-espace vectoriel de \(E\), \(B_F = (f_1, f_2, ... , f_p)\) une base de \(F\).
La famille \(\{ e_1, e_2, ..., e_n\}\) est donc une partie génératrice de \(E\) et la famille \(\{f_1, f_2, ..., f_p\}\) une partie libre de \(E\). On peut donc appliquer le théorème de la base incomplète.
Théorème : Théorème de la "base incomplète"
Soit \(E\) un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel de type fini, non réduit à \(\{0\}\).
Soit \(G\) une partie génératrice finie de \(E\) et \(L\) une partie libre de \(E\). Alors il existe une partie \(G'\) de \(G\) telle que, en notant \(\{ v_1, v_2, ..., v_n\}\) la partie \(L \cup G', (v_1, v_2, ..., v_n)\) soit une base de \(E\).
D'après ce théorème, il existe une partie \(C\) de \(\{e_1, e_2, ..., e_n\}\) telle que \(\{f_1, f_2, ..., f_p\} \cup C\) détermine une base \(B'\) de \(E\).
Soit \(G\) le sous-espace vectoriel de \(\mathbb E\) engendré par \(C\), alors \(B'\) est à la fois une base de \(E\) et une base de \(F + G\), ceci prouve bien que la somme \(F + G\) est directe et que \(E = F \oplus G\)