Construire une famille génératrice d'un sous-espace vectoriel de R^4
Durée : 6 mn
Note maximale : 5
Question
Soit le sous-espace vectoriel \(F\) de \(\mathbb{R}^4\) défini par \(F\):
\(F=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4 ;x-2y+t=0\textrm{ et }y+z-3t=0\}\).
Construire une famille génératrice de \(F\).
Solution
Soit \(u=(x,y,z,t)\) un vecteur quelconque de \(\mathbb{R}^4\)
\(u\) appartient à \(F\) si et seulement si \(x-2y+t=0\) et \(y+z-3t=0\),
ce qui équivaut à \(x=2y-t\) et \(z=-y+3t\),
ce qui équivaut à
\(u=(2y-t,y,-y+3t,t)=(2y,y,-y,0)+(-t,0,3t,t)=y(2,1,-1,0)+t(-1,0,3,1)\).
Donc \(u\in F\Leftrightarrow\exists(\alpha,\beta)\in\mathbb{R}^2,u=\alpha(2,1,-1,0)+\beta(-1,0,3,1)\).
Notons \(v_1=(2,1,-1,0)\), \(v_2=(-1,0,3,1)\).
Ces deux vecteurs sont des vecteurs de \(F\) ( \(\alpha=1\), \(\beta=0\) pour \(v_1\); \(\alpha=0\), \(\beta=1\) pour \(v_2\)).
Nous venons de démontrer que \(u\) est élément de \(F\) si et seulement si \(u\) est combinaison linéaire des vecteurs \(v_1\) et \(v_2\).
La partie \(\{(2,1,-1,0),(-1,0,3,1)\}\) est une famille génératrice de \(F\).
Remarque :
on aurait pu caractériser \(u\in F\) par \(y=-z+3t\) et \(x=-2z+5t\), on aurait obtenu que \(\{(-2,-1,1,0),(5,3,0,1)\}\) est aussi une famille génératrice de \(F\).